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小时候人人都有一个赌神梦。长大了我们才知道，哪有逢赌必赢，都是十赌九输。6 x$ n' d4 o4 }: B
/ Y- y3 d2 Z1 b6 r
6 d2 e: T$ _5 o w f想想也是，都赢庄家吃什么。要说“赌场里都是别人设的局”这话也不错，那里的游' P( j( U! `- q" |! {
6 d& z: c8 J0 i" v
戏没哪个玩家胜率过了 50%。即便如此，依然总有那么几个人，可以赚的盆满钵0 }2 u8 a, W+ B0 U7 {
% {: @. J, M( J' `. X满。他们是职业赌徒，以 21 点（Blackjack）为核心业务。) [- p5 H: R8 I! m; j4 F
[1 V2 ~: A" ~+ [2 M1 G
21 点是赌场里最可能赢钱的游戏，也是那里唯一相对公平的游戏，在采取最佳玩法
7 i( V2 ?5 F* w( ]7 |4 r9 e8 y! `- _) o6 t, z
的情况下，玩家胜率高达 49%。不过要想长期赢钱，这 2% 的劣势也无法容忍，高
; T0 V( }, @* c4 @- `7 \% m
. u; h7 ?/ r% P% w3 t, u端赌徒们会用变换赌注或者团体作战的方法把这一点劣势扳回来。
( t# D" Q8 a2 Q |5 U4 Z$ Y
5 j/ L" w0 P% x21点怎么玩$ M2 W3 B8 x& g1 N$ p5 H" i
虽然各种电影里常有 21 点的场景，但它毕竟只在赌场里流行，实际玩过的人不多，
: x z/ w- C" N
C9 ^4 [0 M E3 L$ b( m z让我们先来介绍一下 21 点的玩法。9 L5 o- q0 C% P+ G5 z
+ z3 B$ T# I0 j这个游戏分庄、玩两方，通常庄家在一张半圆形的牌桌上同时应付各自为战的 5 到
+ h2 {: c {* b9 j% A) }& K& Z/ E& \( e3 ?% m% r# ~6 I
7 个玩家，道具就是多副除去大小鬼混在一起的扑克牌。玩家的目标是让自己牌的) ]. a1 i& ?* _9 p6 ~1 a
7 d. U& x/ M: |% L: y
点数和大于庄家，不过这个和如果超过 21 点就直接出局了（也就是爆了）。花牌, @) H6 d6 t! p4 X& e& R
2 t: \% _4 u$ l: ?% d2 \
算 10 点，A可以根据需要算成 11 分或 1 分。4 P j* t E: @ J2 E
% f4 {" m& j# M0 P! e首回合玩家和庄家都会得到两张初始牌，各自只翻开一张。之后每一回合，玩家8 L9 @8 j/ `8 |
" x8 ]" W/ F3 G6 [2 O可以选择：
, w* g" z: G5 L. H" z7 }1 S0 D
9 O+ K- o q' J* {6 c● 拿一张牌（Hit）
8 h; B0 B. x: T/ X. @+ V# _6 Z" P4 |) q
● 结束拿牌（Stand）
/ N$ Y! v# u0 }. I% g T" W4 B- _% U& U7 _3 l" N/ y* a
● 赌注翻倍并拿一张牌（Double）% w7 R) I: v& a6 ]% B
) {9 g' N$ f$ k+ [3 ~( u" D
● 如果拿到的两张牌相同，玩家可把这两张牌分开，压上另一份同样的赌注，并从5 @, p9 R# I" R. q$ l8 M7 \* v
) @& I1 W; `' z+ q+ U( z, k. a
庄家处获得另外两张牌，相当于一次同时玩两局（Split）
9 g8 y+ z5 I. o6 G
$ ?# u9 D9 Z$ g$ s- f) @! v● 认输，投降输一半并开始下一局（Surrender）2 F( V! U2 U) |; n( J8 f; K
8 t+ {8 m4 }& c3 u
要注意的是，其中Double、Split、Surrender只能在第一回合选择。有的赌场允许
2 K( Q- n7 @+ h" G0 y* a+ H
( j4 z3 ?# \8 @4 w: A0 H$ k Split 之后 Double或者继续 Split，有的赌场则不允许 Surrender。) V" D# O9 D v: e. @
9 t+ \; I8 b/ |: B% l1 D3 k当所有玩家都结束拿牌后，庄家翻开首回合盖住的牌， 如果点数和小于17就拿牌，
$ w0 G7 ~7 f8 y) Q9 i1 a# k8 M# d
/ q$ R& t F2 G$ N0 J直到点数和大于等于17 ，庄家不 Double、 Split 或者Surrender。如果庄家爆牌，" @- o( X# b# d" ?0 K: ^
( ]' g0 A) t# x6 f: L% n0 Q所有玩家都获胜。如果庄家没有爆，比庄家点数多的玩家获胜，点数相同的话为. F- e1 K, x" p
% V4 U: @$ s& f- H+ R* K
平局，点数少就输了。
9 N6 R( f$ D: Q
" _$ i$ p$ q' G( s# m: X7 s当然 21 点还有一些特殊的规则比如保险（Insurance）和Blackjack（拿到一张A
1 A8 C: |0 E3 ~* X7 h. T3 _$ u* |0 P4 p( C2 X8 F5 @$ l
和一张10点的牌），这里就不赘述了。5 g* z9 B7 A4 e3 v
: Z& \# _! s) _& L& p7 | g. c8 T
6 x) E# u9 m: `0 ~ V: i" X
高端赌徒如何要牌2 M9 }0 C% G. ^1 `2 e3 N5 e
" F0 x3 o( e6 _- B$ R
可以看到 21 点并不复杂，数学家们很容易找出最佳要牌策略。计算表明， n& k- @) t' A3 w- V% R
3 s! A; b9 p4 G: s9 H0 Q4 v
最佳玩法使得玩家胜率达到 49% 左右。对职业赌徒来说，做到这点没有什1 e- A0 ~6 w1 m+ B9 ~7 L' R' n
. p8 i6 a$ q0 |. T么困难，所谓最佳玩法不过是 3 个矩阵，记下来就可以了。, e, Q9 n3 U$ p) r9 ^
( I$ Z+ V% k2 ]! N
8 z' ?' y. J' L' l. v上面 3个矩阵几乎涵盖了赌局上可能出现的所有情况。顶部横排坐标表示庄- k& _# a# D3 {) q( R' Z3 y
$ ?6 l. m! U. N- a/ y1 m: ]家首回合翻开牌的点数（T为10点）。第一个矩阵竖排最左列表示玩家当前0 G3 r7 |& z2 n8 z0 V1 O2 [4 Q5 J
! s/ j3 o% M; e( M: W. Y8 g5 [
手牌点数和， H 即 Hard，就是说要把手牌中的 A 当成 1 点来算（如果有的# A' N' i# J( M) y
6 X0 s% C- G. _' D% @; B2 \/ c6 |
话），另外两个矩阵竖排最左列表示的玩家手上的两张牌是什么。
' n; y3 F) Q% h7 I: S2 S1 |5 k$ |$ X$ n% n+ w6 {$ O2 k
剩下的矩阵元素就是玩家对应的最佳操作。其中 H 表示 Hit， S 表示 Stand，$ }* Q( e) @4 q
! V& c, `% R+ v) V/ O2 j! U- ^
P 表示Split， D 表示 Double（如果规则不允许就Hit）， Ds 表示 Double4 M- t I3 ? ?. _
B3 B$ X: A6 A% A（如果规则不允许就Stand）。
' h# u$ u3 ]1 k8 J% T9 s4 H) u* ?) e3 ]9 K' K4 j5 N
仔细观察上面 3 个矩阵，许多要牌策略稍加思考就可明白。但也有一些很
, i: u) V% \ ]
- z5 G0 w; H2 X0 }- R7 Z$ @有意思的地方，比如说当手牌和为 12 时，庄家牌面为 2 或 3 要 Hit， 4
6 c% ^5 M( c$ f- C# }5 R0 g- W# I* S. t+ I9 A2 H; H6 O
到 6 要Stand，当庄家牌面更大时则应坚决要牌。, b6 n/ ?: D) H) C$ U
2 ^' G1 H- j2 G2 @为什么会这样？什么时候要牌什么时候不要，概率说了算。不妨让我们先
0 n6 y" X* C+ }( I1 w' z% ?
+ a3 C+ D) A' O4 f5 Y来看看玩家 12 点时 Stand 的胜率。庄家开始抽牌后，点数和大于等于
9 s7 Q% R0 r2 H& {4 S3 |9 _( Y1 l8 U6 P, D8 B! A( V5 y/ g; ^, l
17 才会停止。这时玩家要获胜只能寄希望于庄家爆牌。9 u4 J. k) [% V- w$ \+ w+ v2 b) ]
5 q7 Y+ M* D% ?& |8 |8 `
如果庄家起始点数大于等于 17，根本不用抽牌。点数和为 H16 时，抽2 b4 T0 d% Y2 a) g! n- G$ |
' S4 j6 r. Z( q% K, Y {到 6~T 会爆掉。我们知道，抽到不同大小的牌的概率是相等的（1/13），
t6 B5 ]4 r3 M& i; l, u- ^) I) M. I$ c1 g( ?3 N$ p0 h; d+ B
设 F(x) 是当前点数和为 x 时继续抽牌爆掉的概率，那么：
1 q# l; U2 Q9 p1 K4 }& ?
4 h* a8 S7 \* }( N$ ]. S6 R: |F(H16) = 8/13 = 0.61538; Q& ~- I# q( w0 Q7 Z
( J8 C. \7 M( G9 Y0 V3 }% U当庄家手牌点数和为 H15 时，抽到 7~T 爆掉；抽到 A 就化归成了 H16 的情况：- h: \) O [9 K/ h7 K$ b
7 k3 a2 s1 ~' B" E6 C% I! n/ O2 ?F(H15) = 7/13 + 1/13×F(H16) = 0.58580. V& e* N4 ]9 e! H H
5 M5 K0 s b) L7 j
同理可算出 H14 到 H6 的爆牌概率。当庄家手牌和为 H5 时，情况又有所
3 K( C2 z7 k/ Y( i) O/ ?
2 d4 @8 m( ]! ]2 f" O不同，这时 A 可以被算作11点，把这个变化考虑进来后，也不难算出
0 x. c A( F. D# H* i
5 u2 M$ @- |3 f H2—H5 的情况。
" ~& E+ [# c5 S; Y9 z# E2 r/ N8 S* ]4 B1 Q5 Y
那如果是玩家选择 Hit 呢？这时有两种获胜情况：
' ?8 ^; b1 ?; Y8 A! e
5 D! E8 }- }; T1 ^玩家没爆但是庄家爆牌
4 l, x( Y) M9 M
8 `* n( y4 p& r* s/ y3 y; D玩家和庄家都没爆但庄家点数小& ` F4 s) n( o/ f% N0 L9 L& `! n/ [
u# f! Z7 K9 R4 o/ J爆牌的概率已经算过，现在来考虑比大小这种情况。如果庄家第一张牌
' h( p" V' k8 ]! x6 m2 u9 L) N! Y& T5 ^# Y0 C3 d! W2 T3 H
为 2，令 G（x） 为庄家得到点数和为 x 的手牌的概率，则 G(H2) = 1。
& F8 Q; \% Y" v) d' `6 f% Z
~( ?7 o2 H: U' q( x* w# F# ^如果庄家手牌和变为 H3，只能是在 H2 的情况下抽到一张 A，即：; q J; Y+ F# r1 U
+ D& X; ^. P0 w" ?' k! C3 U7 ~
G(H3) = 1/13×G(H2) = 0.076925 ]! c* x" o U( X& Q
' u. J. D, a+ i8 N8 E. `# D类似地可算出 H4 到 H 21 的概率，依然要注意 A 算成 11 点的情况。7 W0 v4 \7 ^- _- g- @8 e. m
- B9 U3 @# C- r% e* U在双方都没爆牌的情况下，玩家通过比大小获胜只有以下几种可能：- v( U0 R9 C* F% r c
6 Z) ` H x$ u7 Q* M玩家拿到21点，庄家拿到20~17点& c; z8 d7 g* p7 I; s0 Z
3 O/ @* q* |3 N* `3 E. B玩家拿到20点，庄家拿到19~17点" j8 [3 o3 r/ |
" N; e5 R3 S4 r
玩家拿到19点，庄家拿到18和17点. N/ Q; D ]$ X! O
: k4 l3 K" e# i1 M2 v3 c玩家拿到18点，庄家拿到17点9 T3 d& C: ^% [2 A
+ D: }6 m- m8 G* J0 _* [玩家从 12 点开始抽牌，拿到 18 点，相当于从 H2 开始抽，拿到 H8，
- G. O$ u/ b# b& N, W# G+ n1 @0 q& `7 S' X7 J1 ~
因此概率为G（H8），而庄家拿到 17 点的概率 G（17）。据此情况4的
0 O$ H; M! ~2 o/ m: k% N0 I% P" i! t! ^7 {/ @1 Q
概率为：
! e. [4 G& Z. u
" q) z& ~2 q# p4 e+ EP4 = G（H8）×G（17）
; n: A% ~* \ U; o: V' O) x; j4 i) P3 s
同理可以算出P3，P2，P1。因此在玩家手牌和为 H12，庄家第一张牌为
' O; L6 N% y& Q+ ~/ M4 P: ]$ n0 k! d: M; V- s( C% s8 F
2 的情况下玩家选择 Hit 的获胜概率为：
! D+ Z1 S( f/ W/ s% J1 R- J2 d3 b; P4 x: p( q$ s
P(H) = P1 + P21 + P22 + P23 + P24 = 0.36958
; k# m( P* A' w' @; K; _
8 T; i$ E8 B; _% S9 O# G7 A前面算过，此情况下选择 Stand 获胜的概率 P(S) = F(H2) = 0.35831
2 W j/ q) n1 e. I1 j1 V+ L+ D$ x2 c6 b4 V( {
P(H) > P(S)，所以 Hit 为最优策略。
3 r' ?# L5 ^1 N2 d3 y$ ?
: z/ f) C* K, [% h5 @; ~& E& w3 R; G: q) N5 U
. k# J+ Q1 s8 y! ^6 S% \1 z$ p3 a- Z |
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