随机赛程的最佳策略

引言
5 K1 d- m4 L. K3 y# H) E
在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。

8 s$ w3 ?/ L2 G2 I) z2 B1 ]问题


有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？

# R  q+ T  N0 V( h3 O  U2 O8 r5 K当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。
; {7 S+ N, \7 y5 O4 @
/ d  F( l) @( X2 Z本文
  ~( W9 l: M# S7 K# a
: c7 ?8 m1 Y! Y& X) c: T2 w
6 m2 S4 E9 z! w) Q: R+ }问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。

为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。

  P; n6 v* P8 M6 d3 F+ r
方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
( N3 u: Q5 A, L+ y. o. u3 o* Z2 h方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
  A1 A9 t5 p0 `9 Q( C" \% t! f方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
/ m( y* L9 p' d, T& N* J你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。
' |$ A0 g3 B' ?& n5 C& H& X
首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。
  ]( R& |5 {; {; }1 A7 q3 l, b# j
++,
+-++,-+++,
+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
4 c: f- Z+ s4 W                                                                                                。
, \( N/ p8 f  p4 G/ |在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为
1 c0 P" o. V- \: X
5 T- H* Q2 m* t7 X

1 V9 L  @8 X' y



$ s- y, i; c# r" A+ j. r  I4 `  a6 M
$ ]- I1 J+ ^3 o* n, e. n) t$ @
$ x5 l* g* f4 h( l0 k
现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。
" x* N. o% Z8 n" U! r
++,+-+,
-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
-+-+++,-+-++-+,
                                 
, ,
                                                                                。
6 Y2 ~% ~2 V1 F2 Q7 `% T
仿上之计算，可得此时甲赢的机率为
7 r0 `: h+ T4 b% Q3 \
+ b' h0 m$ ^4 c; j) J; _" a


$ D  ]6 g4 L6 O

- ^) F$ R' J. A% \& a, j

' q% l' K5 [/ U0 |& g最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。
0 O, m) t/ Q5 s' U9 C# I
$ A: v* l7 p( G2 H现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。

这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？

现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。

$ x7 w9 B, g0 V5 B4 e7 T- M3 S
6 C9 g2 B6 Y8 L1 W+ D情况一：  
/ k& M  Y: j' H+ h此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。

2 G( L' t; o# I( d4 ~情况二：  
* A) }0 T: K% j: o% r此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。
! U  l) x+ l3 U: [2 R
情况三：
& `) N" Y9 E4 k/ z+ e5 G6 q5 m' R. S# c此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。

现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。

由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。
/ E9 [/ U3 h( T% @
如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。
/ f2 g3 P+ ~: V; ?. r* y
* I' s1 k! z, x$ b, o
情况一：  
3 t0 z  W( Z, T$ n3 |假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此
: `, J6 y' N: Z7 G1 x! o! Q
# |- y) B7 D1 Q) Z5 Q* Y) F

/ ]" d' W. Y9 ~- ~( H
; [: n0 o- N) O
$ l. Z! P5 p( b0 z! h* o0 H! E
! |0 z6 `) }& P: T3 {# D这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。
- G+ p0 R/ e* Y
情况二：  
! N0 t( N: A9 O5 G& b  c. D令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式


8 ^: c) {0 U4 F9 k: e



1 o7 l5 b5 @2 d& Y" e$ u% [/ f7 g这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
( R8 W$ h# z2 J( p$ a4 ^利用p+q=1，上组方程式可改写为


' c' W% z; d6 K
6 y/ A) u& G2 M5 m8 O! k


5 f2 _2 t1 l3 b) {两边相加，并利用 、，得

) S, L3 L* Q) ]
* L* M$ G2 _' w' N* _+ c2 K

, f2 b1 O( S6 p$ f& ~: u0 G' H# i
9 m4 S+ w$ [  ^) s- N6 v
若取前 c 项相加，则得
, X: i  v. Z" Q9 f; ]* L0 ?


! s% p: }+ L8 m) u* k) |
& B7 B$ W# r4 m6 Q" P

! u5 q: h% ?. B+ f& ~1 N8 A1 G情况三：  
) D7 e' w, U+ X  i仿二之解法，可求得

5 o0 g( k; N1 z; z; w5 \




1 y/ e8 R7 V% O. n' |8 `( ?
+ }1 f5 Z; z4 d1 ]% V. \保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。
# j+ j# w% e0 d& u! t
0 m7 r+ \4 d7 y首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。
* d- j: _( a9 W& J5 \% G( O6 }

' t% J, n! A  u$ v0 v, z* n/ l: X定理：
设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。
* L' d' J+ x& s" }: e
6 }: a; S/ {# ?3 ?# l" h- T现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。

首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。
: ]0 p2 }& o9 W1 G  S( J1 ^* J
至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则


% _0 K: N' u& i2 _  [& x

+ y: b1 R/ {8 `0 J, O6 I3 L

; D8 Z9 \3 H2 G; f  Q6 z
0 m* S1 I, ~2 y8 l# Y
0 H& P  n- _; ^4 ?6 {8 j其中  为所下注之金额。利用








可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但
8 i! v3 x8 L- J) x6 a# L

7 [( a( S- Z: r: t




4 Q5 E- e) o3 `% J
因此可得在情况二， 时，
( }9 x7 G0 c/ X' y( I9 G

9 r3 y- d% B3 {, @( Q5 ?
9 t3 y9 \( s1 q* E6 E* k




% ]' H$ s$ \# R9 d而在情况三， 时，
7 I6 X, m: D# ~3 l9 I


. Q8 |5 o2 [+ j( y; f" `3 m' O

6 m" r7 w' B! i9 k* c. G
# b, A' y6 t2 a8 B! `# p! x

但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。
$ p4 D0 H$ b- u' B  [2 ~. M2 A6 o
3 ?9 F3 A! K/ s* w3 U" H/ ~至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。

6 x# v, C4 @- }. p( k( _/ s4 R4 N; K附录
8 x) [' n" X, o3 w

: F9 j" I6 v, u在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为



  E8 k* j3 H/ R) i& K+ U' c8 b

6 C7 a& q$ K+ X' J

) P( a( l* J3 z6 z% h8 j1 u' Z
另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！