随机赛程的最佳策略

引言

, ~: i( t, x. P+ {/ e% A8 A在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。
' d6 v" l+ g) B5 r! T
问题
% n0 L. x6 ^- t8 {
- E1 d4 G  T$ K' [# s
; i. q6 w$ w$ B7 O有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？
$ O& T$ }* a% R9 h
当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。

$ L7 y$ ]! j& O4 a9 g本文

3 T" y/ h" E9 R0 [
7 s( S+ b8 j7 v问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。

+ Y( [, H) X! c, D为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。
7 z! l3 |! t! S/ L1 T6 h/ ]$ X

方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
! S+ ~9 Y# c; B, V  v. y方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
) U/ U' M4 |. E! p, K你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。

2 J1 \  ?0 S& D4 @首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。
1 @  z: t. C  {  o- D/ Z( c( q
. t. o6 P, N9 w++,
+-++,-+++,
' d: X- E& Z; H. N* ?: I8 S6 h+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
                                                                                                。
/ M& K0 o  d5 z在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为



+ u3 ^2 E. S7 H- ^  b





! g1 S1 y$ v" U; n" V0 E1 _
4 E3 a; D) n+ a: y现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。
& f/ z: _7 v# S2 D* }; D
, c( C7 ]$ x" f5 U; ?++,+-+,
-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
- I2 {' p, K& K7 R$ C2 [' Q6 \-+-+++,-+-++-+,
                                 
, ,
                                                                                。
+ }, C& X# Q. u& M; w% [) T
( z4 `: N8 G9 P6 }! s8 g' |5 X  W; K仿上之计算，可得此时甲赢的机率为


) G* V$ E- f+ o  f
- u$ m1 s: `) q



8 ]" ~* q, P9 K
最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。
) d+ }$ o) W5 c% s  a3 t; A' P$ k# G
现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。
  z- N! y+ @6 o7 _
这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？
, x) h( h! H2 j( w
9 z1 {1 `: b1 {! I& A现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。

4 b( `! C/ J1 E  S
情况一：  
% t( p2 ?* Y2 g此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。
' J+ S4 K5 O" J
情况二：  
. g: J4 q9 u' d% w, ~此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。
2 K, D4 M0 ~! H2 F" {- ~
情况三：
% [+ f5 H% H$ t7 k! s# }  i此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。

现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。
  S" i6 R. A1 I# `2 y5 U8 w4 d8 p
由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。
+ t+ i$ O0 w  \/ U5 o
% u2 ?# n6 E, J4 S如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。
$ s( `& P& b. m4 U! K

情况一：  
- r) J. H( ^. c+ U, M假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此



" z; K' p- K: U0 O' s- @

4 I4 Q8 m$ X0 r& N% M
这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。
; w; z3 I/ M6 H4 Q& J4 L
情况二：  
令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式

5 m2 q% N* \/ F
" I/ V5 A+ h9 y* }+ J( A6 g: R$ _8 y
1 w* i8 P+ O7 w5 r5 h
- g7 ?6 z; V4 p6 R: _! k
: D. v9 X1 a6 j
+ d) O- G" T( Q2 D这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
利用p+q=1，上组方程式可改写为
: G0 b7 }+ ]2 z$ e7 R


/ N. T! @+ R) t: E" y
  i' b; D: Q4 ~% F" J

6 a: C' a; z- M" I两边相加，并利用 、，得
1 f0 u. |: L2 Q+ f- k




1 L6 ]' t, _( H% a
$ A% j. S# s6 R- p: H7 p+ W若取前 c 项相加，则得


# S4 g$ S) M- W/ j3 \8 i; ~$ f


: G8 H' @/ ^) `% c: L$ O
4 S' @, M- \. R4 Y$ N情况三：  
仿二之解法，可求得

9 _7 Y% J4 K7 |% _7 ]3 @

* b9 i# h4 r5 `; W/ {, y3 I4 T/ `

% Z( E4 w5 a" `3 c6 v

8 r5 r  @- S" w' }5 L  b% l) N保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。

首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。
' C* q! Z! m% s* b/ e5 O
1 ^2 W8 S& a5 J0 }3 d! A
定理：
设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
0 x2 d# z" j+ l6 x' G此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。
5 I/ C. T  R2 n: I
现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。

首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。

1 @- j5 F1 \4 @" X至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则




; A% Q' Z2 G! c7 o9 y


7 Y6 e3 ~: r4 T+ @3 k* e. N- F; ?
' M( `) O( a5 f其中  为所下注之金额。利用

4 x- L9 L( b& t3 ]
1 @/ g+ x4 @5 [





可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但



5 i- n7 ]5 M9 K; g- \6 }0 L

/ B1 j3 u& y) g/ t& S- o5 j

, Z9 o. i$ ^5 }1 a- d
因此可得在情况二， 时，

  B, `9 j: v! `1 O2 C


( d: U; Z& Q: v( D
7 V) X- ?' u+ L' M0 x! U
( M4 ]- z2 [" K3 K* ]" l

而在情况三， 时，


& _/ w) U% b+ e$ U) u/ R( ]
' Y% w* u# M! j+ h. w
3 B- E4 P# ~3 D( L7 {# `8 q. v7 v
, y. o7 q1 M. C, t

$ N- a9 K( F0 O. L
& S. t! E  V* P但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。

5 q/ ~3 a0 K4 O8 `至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。

附录
( h: \5 }1 K! U5 f; _! G

0 K5 u5 H" {) t在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为
% T, [4 F  L' Z. M3 o) p( c: {1 h


9 h; t% k$ v( }, C4 \# ]
9 @3 |9 f! x2 r2 ]



另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！