随机赛程的最佳策略

引言

在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。
' t  @" p" `2 e+ E8 s! W0 t
' |1 r% l* L$ C7 S3 z/ q问题
; L  \! d7 r( V$ F% U
, B$ ^, k/ X  g+ i& I! p2 Q
有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？

- l' C$ B- _4 `1 V% B7 P当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。

1 z3 G& W7 `! c9 `* ]6 A2 A1 I本文

. o3 V- c1 f% A& o; e+ i5 X4 d0 r
+ b, x' q/ ^) {5 J1 ^问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。
. q9 g3 W7 m4 V. g
1 \! t7 x; ]  \. r2 ^  s) Q为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。

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# f- E7 j; [% ~+ y- O5 t* t方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
& H9 Y/ M3 Y6 l8 F. ^' p& ~方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。

  V7 V! P! g& E1 y% C首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。

" A  U7 u: R' e7 ^) T+ b6 S7 r++,
( C4 O: y3 x& v+-++,-+++,
  `  U9 y* f2 ^7 D+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
9 h6 Z/ p/ Q9 d  L                                                                                                。
在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为
) v3 n; O1 M' M
" A, z  R. ?$ t. f) g# j  N
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! N: P0 A1 f! n9 ?) n9 Y
) n: c4 t; E8 ?$ d6 z4 }5 i
现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。

++,+-+,
) f9 O% W$ p( g6 k  U& ^0 |+ A-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
, [4 @6 M8 F0 m/ p& ~5 G9 G# Z" f$ q-+-+++,-+-++-+,
                                 
, ,
2 P9 l5 G0 `: m! t/ K                                                                                。

仿上之计算，可得此时甲赢的机率为
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2 A) u6 V+ n2 h, X5 _0 e( ?: o
5 g6 a5 |8 p% k

- a! m6 M5 D5 N1 ?
最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。
0 T4 I5 o3 D5 a0 |( A4 v
现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。

  y3 N9 j8 A! V- B这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？

5 Z8 P/ O' H- G现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。
, \% i( t. b8 t2 h7 @" g4 q& q

情况一：  
8 o2 `1 W3 F  A2 [! `此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。

情况二：  
此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。
4 c) x. \" q# m% N  E8 k! b- e* I
情况三：
此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。

6 e# C, e; P6 O9 _  j2 o  S现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。

  T0 T. u' F8 ]! `' ^由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。
. O0 ], \8 ~4 ?* Z1 a
如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。


; G' L3 z6 k9 ~5 l3 f情况一：  
8 V: w9 i3 C( N7 g7 @假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此

( I: E0 G2 {- H% F
: C3 N; L) E! L: @/ y! B



* [0 K1 \! C: D/ @2 s这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。

( @6 S% l6 K) p: Z) K: P情况二：  
令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式




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8 X# t# f* d2 T* J) i1 f( j/ g, }
3 L7 |8 C# Y0 _, T8 K/ ]. J这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
9 C' X8 c8 B: u' N9 {: G+ K利用p+q=1，上组方程式可改写为

4 ?4 O/ i% q, o" Z7 O( V) `




6 m9 l1 G- |6 W% i; B' k# \8 s两边相加，并利用 、，得

3 d7 w' z: M# i4 Z0 n% E7 [

4 {  P& w4 |1 b' I- S
% A4 ]% d2 X  }+ ^$ L% c" ?# [

0 j! u0 u( G2 I9 B; C0 R) _1 h" ^若取前 c 项相加，则得


0 B$ D* ^/ h/ _$ ?

, ^0 u* S* D" O
, o4 k7 P+ O# N8 [$ c
- U9 P9 P' Z+ [3 ?" r- U0 A情况三：  
1 c, e8 Y. d& M5 j仿二之解法，可求得
# h% c+ ^0 C+ B* g# L& @
9 ~9 s: M. ], f  v# ~$ z
/ O1 P1 P" a; a; P
! }9 t6 f) u; F' W; ~


1 \9 |7 D/ u( P1 K8 D
保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。

3 L& C* d, K/ N. R+ J首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。

/ T& O  `( z( J9 s2 D
定理：
* z$ _5 I& L8 P& d9 g设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
4 Y6 B) A; z* z0 K8 v& R此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。

现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。

, `- A" D! e  V首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。

至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则
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3 {# T5 c7 }: f- X% R
: ]( L6 a1 t" V其中  为所下注之金额。利用


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可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但
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因此可得在情况二， 时，



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8 j) t2 C0 W3 {/ h4 R" S
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$ b5 v" ]0 O* P而在情况三， 时，
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( F  S2 b9 W/ s1 z, Y+ G* C" Y

但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。
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: q/ n. V3 f: i) ^3 ^3 a至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。
: X9 E$ L% K9 C/ T. R: `( ?
2 T3 X7 q# v* N1 o9 ~( k* e& d% A附录
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$ N( v  P$ S6 h% u  m( ~9 ~在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为

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. f/ F6 J5 z8 _/ N6 y2 r0 |" Y1 ^另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！