随机赛程的最佳策略

引言

* R2 @1 z5 I$ k& R6 j9 F$ v: `8 e在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。
" y' r( X$ C& J6 a4 N6 B
* k0 ?, U1 c1 j* r7 u! a: p问题
7 Y% U/ b6 t. }- l* \

: |4 V0 U! T& y0 a有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？
$ t( b0 v0 U: @! h' H" {! I+ V4 ^
( y; S; G7 I+ X0 {+ g$ `当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。
* _' D: `7 Y- C0 l
* d: S7 ~8 S+ ^2 H1 S7 ?本文
, W( t+ P# t+ @% j. Y3 V# l+ A
; D( d9 n% h! \5 T2 v* M. b7 j
& L; x8 U, ~$ m7 t+ n9 D# \问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。
5 {. }; ?* ~1 v
为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。


方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
$ ~( X5 p# g) ?0 _( v2 Z( `方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
9 c, }5 `: J: _/ }7 ]9 s3 ]! T! c你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。
) N* ~  n- r3 p: N4 q, i. n
首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。
+ {: r% r. L0 D5 P
++,
+-++,-+++,
# u) E% F+ p1 c; f( [+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
                                                                                                。
在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为



6 e7 _' ]$ v, B0 h2 g

8 v) g. V$ _1 F8 o6 V. R8 U; H9 ~


6 K& y9 n, s% P- A/ E
" q" J% R" g8 _; T2 E* s; X
现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。

++,+-+,
-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
" _* K3 q7 W8 i/ o- h; Q3 T-+-+++,-+-++-+,
                                 
, ,
                                                                                。
' a. d! i* \4 x. ~! w
6 N# e9 `9 M/ o# y5 j仿上之计算，可得此时甲赢的机率为


4 S' i1 y- H1 P: h0 j




/ h3 Q9 |2 j6 B0 y, L
最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。

现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。

+ W9 M+ H  i" a; \. I; M这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？

现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。
& g* ^9 T  r4 r( f+ w  i1 z
  O+ ]; S- m) o+ [8 X
情况一：  
此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。
7 p) p. c8 s- u$ T. K2 C
$ [' q, E/ U7 F8 b+ K9 A9 ^  _情况二：  
此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。

" D* A$ N; n0 ^. n+ W情况三：
此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。
, @! s# B% z- t* z
  u' Y5 b/ S$ Y; u3 _; R现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。

. M$ t2 _  c" K$ K% X* G" j由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。

如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。
2 q6 K. k4 Q* I; ~5 W
$ Z! [7 _; T+ R9 v* }
$ P9 U, a5 ]' G( J% J( y情况一：  
9 u% `' @% ?/ P" @) K假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此

: h. c! _4 e  B' f% \- {( B


2 {* B9 c  ]2 n* r3 d5 c% r

这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。
; I9 o; X4 g! t( d7 o% J
情况二：  
* q) K/ ?: M' D6 a令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式


5 }$ a+ x9 P/ R) j5 e
& B% k  n# @$ k6 a% g: F- {

+ h# w% H: x7 e* f1 I
; _$ B% N1 F4 `* u' L1 g7 ]这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
利用p+q=1，上组方程式可改写为
! `7 {" o0 S! ~5 ~/ O- Y( i
+ q  f) a. r# x, i

$ x+ x* }8 \) A


两边相加，并利用 、，得

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$ v! C8 s1 H. B0 r/ j4 r6 w; S) F; r
' a, z' p2 D/ ^
4 p$ I) \. p1 [; _7 x; p
0 `1 s! K2 {% l1 k
若取前 c 项相加，则得
4 I) B) c4 O# e3 V


! H1 B+ z) Z5 @9 v: S1 x; q


- R0 m& r/ k) W$ ~" b( m* Y情况三：  
仿二之解法，可求得

# }/ P, S4 n2 f& l3 ?* V
( @2 Q# A: J7 b4 z+ F5 @
9 O! j# k. u, f+ ^5 Z+ D# E

4 [# d/ w* A/ `6 I1 w

! v6 S( d' m" A& l( J0 A$ b保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。

- W, \0 C! e! z$ c9 Z首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。


0 J" d0 j( x; I  Z定理：
设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。

现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。
# @- ?( o$ [& r% Y3 o9 C/ L
, ^7 |* a& U# _首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。
9 H; R4 u, |; @  K: Y
2 [+ ~4 i2 Z# O至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则

7 C" u! Q% t' D

2 S, p/ K( G0 H2 X# e1 j1 r
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9 B' y1 b& W6 z/ Q3 A1 l  `* w  E8 i


其中  为所下注之金额。利用
2 h  L% N$ ?! w
2 C. _% Z1 V1 k: P
" y; K/ o  l2 F2 \/ E' z. a0 Y' f
# }) R, M! t1 y, }: d% M8 J8 A6 A

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9 }8 K- f* X) a. R( a0 T
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可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但
3 ^' ~; J! L" f0 T# r" q5 Z
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) m" \# l, \% Q( a  z; o因此可得在情况二， 时，


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而在情况三， 时，
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) d' ]; b3 J8 q; R! q: F
0 K) C% y( t; w
% B$ [  p& Q) P



但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。
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至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。

附录
# z8 f" R0 L: A+ a1 a

. L% ?- _& K( N# [0 A5 \3 r$ J在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为
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. m4 q' n' f7 a' W' ]
另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！