随机赛程的最佳策略

引言
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' [9 N, t- c3 E% N7 ~在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。

7 d( D1 c. ]8 Q7 K; s/ l: X: }! Y$ U$ j问题


有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？

8 G* b* ]4 |, o) Z2 g- ]' d& c当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。

本文


问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。

8 n6 z5 I+ t# N* c) Y为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。
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* b  @7 j& L  o3 u3 u
0 X/ `0 _2 ]- G2 U方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
; n9 u: C+ F' c8 q4 w' a# n, I) h方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
4 G) ~, G9 m, v1 K" l" z你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。

. ^  \8 f) |8 V  j6 \# _首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。

# |9 L  Z2 e7 D. v7 h- a++,
5 Z$ r+ I% @" T# F( r9 M9 K+-++,-+++,
+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
                                                                                                。
在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为






' i3 ]; D( B. q4 b  v
9 D% O9 T1 B% m7 R
$ y9 N/ \0 F' A: \7 P

现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。

++,+-+,
-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
* k# D* a3 X9 j! e* i5 D" [-+-+++,-+-++-+,
" e6 k0 T# O/ n5 v7 i0 G$ ?                                 
% n) O, H& f9 O, ,
4 f) ?4 b, w  a: y+ r* Q9 i& q3 p                                                                                。

0 M: z! u5 N! n4 X, j) v2 b仿上之计算，可得此时甲赢的机率为


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4 Y; p9 x, Q7 h6 |
) @, C; P8 t3 t! e" k7 v6 Z
5 I! M1 {2 [7 H; ?! z最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。

7 I* _; R5 U4 Y- o" {$ @现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。

5 j! d* L. F; [/ Y  A$ ]这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？
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现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。

2 Q( }5 L: d9 `
情况一：  
此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。

" k) t" g7 l9 d; o% `# I# H情况二：  
7 ~/ ?$ p, F8 @, a1 e此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。

: I1 U: z5 D( _  T情况三：
1 Q& z0 x, l, N6 q. j4 U此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。
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现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。
! d, O+ r% K) V; p& M6 R9 H" p
4 ]  C8 H! u/ D+ F' d由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。
0 H& k, g0 h4 F. x$ d* g* a' ]. u2 i
8 e$ i8 V9 K! k9 Y  v* u! q9 s9 K如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。
0 {" ?" B0 p: k, m- I3 k
/ @; k! ]# B6 S; F3 E2 S
* T. `$ R! l# \情况一：  
! [, w8 I5 k; y' D$ x假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此
. S$ b9 ^! Z( B$ |3 h- o- Q
. T- _1 W% B  b4 }
# W: ]5 ~$ X" Q. P

$ w7 m7 t/ _6 b) l1 S3 |  x! ~
8 L( e$ J# T, t) N
5 @' E. d& t( p* P/ E这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。

情况二：  
+ W9 {( E+ G) d: c0 g& }令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式

" G9 Q- I! f- N& U- b" `/ U% k- x
; T- q6 y. {, A# e  p



这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
6 M  f8 ]: I4 F6 E" v% ?利用p+q=1，上组方程式可改写为
" N, A$ I, ]4 f6 H
* G$ k  h0 \9 v+ F



. B6 g  G* ?: L4 H1 X( ]& U
' J, n7 x, I3 f: b7 t7 t4 o! A% f两边相加，并利用 、，得

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3 P" v+ h  }0 E0 s+ R# [  I

若取前 c 项相加，则得
: K+ H- J% I8 m! U
2 K6 }7 a' F; ~  o
! H. Z6 b) M3 U9 j" F
: Z: K+ H- \0 D5 ~


' D3 Y% k! C4 C3 W3 ]6 B9 }情况三：  
' y* S1 V1 z5 o. u9 K8 o* V$ [3 a% u仿二之解法，可求得
3 S; {$ P& `8 k! g

/ _4 _9 P$ R9 F  e/ E
' R3 G- M+ g+ D  U# ^/ D/ ^$ t

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7 v4 D0 @  z: I, V6 L
保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。

首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。
$ z" B% Q% q$ D8 g
5 ~- C  t# A+ \7 R# J; B; x8 I
8 K3 h& D  v. b7 W( D% R定理：
2 }: ^* {: v$ d8 P8 ^6 ?设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
4 n/ D; V$ m+ T& |. G2 f5 k6 r6 N此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。

3 L1 g' c! r+ N现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。

首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。

至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则
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5 F* D2 j9 V+ e/ K8 c. C/ X# k; p

) J4 W1 W5 w# P( w1 k
! H, U; ~( [" a* w* o
其中  为所下注之金额。利用
5 R6 I" Q- X; x
2 B8 W2 Z* O  W/ u5 X
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1 X$ H3 i0 p! ]/ i5 K& Z
. r% x$ s; }; F% ^- `! y- B3 m
! [) L' q/ X7 J0 g$ v可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但


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9 f1 z) k$ m- N# {) p. A. {3 \


因此可得在情况二， 时，


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2 |1 I  I: D8 ~9 [) s

* @, I" p& g) \% D而在情况三， 时，



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# s2 o& K: g4 I5 P


- {8 X& l) G- F7 [/ \+ [但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。
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至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。
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附录
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# ]. M+ a* J4 ^& n# D# B
在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为


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8 d9 @+ o5 F) E# |, {/ t8 d7 }
; s* z1 P7 O  N' R/ N; M9 o
另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！