随机赛程的最佳策略

引言

在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。

问题
6 V# h- @# R' b5 }! _. C, ~

有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？

' R$ i, B1 h; [% ]当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。

  Q; ?* U# w& R- U  E8 H本文


问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。

为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。
0 `: L! R. q. w
# u  \# J8 a8 |/ Z  Y9 Q+ o; a
0 R# e0 g' m0 z, ^9 A方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
7 I. Q% W( h' }7 l方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
+ s. A  o, s8 p8 B' K0 U方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
" j0 g8 t8 X9 x* u3 T6 F2 O0 _你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。
+ C4 ^0 ]  ^* F8 H. x6 x6 G6 @
首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。
/ F: Q2 Y  l+ I( m! U1 p
++,
+-++,-+++,
+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
                                                                                                。
# q3 x: b/ a( n, E: w5 c: P* j在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为


4 f$ H8 v) Z( j6 p6 ^) h2 k
  \# @3 u; N3 U" f$ n- i

1 o( [) M& B. R; ?; t3 a
: b4 d& V* i6 n& ]; ~8 M

1 X. P+ g+ U, B) G- k
( r& C- \; ?! D" @6 _' W' M
现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。

++,+-+,
. l3 r! ~1 @9 ?! n0 Q-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
-+-+++,-+-++-+,
                                 
, ,
                                                                                。

/ F3 o- W7 h' f1 J6 y) j仿上之计算，可得此时甲赢的机率为








% ?' S9 P  w9 l7 a9 @% k最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。

- t1 l! z) {. U0 b, |" T现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。

1 R9 x$ y$ e* `) n# v8 X& \这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？

, J! _. d' M& E3 L; d现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。
! N$ i+ X: X' u' B
2 Q" ^! _7 m( j$ v1 h
# K% a; o% L" O* g情况一：  
此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。

情况二：  
$ v* R5 F) ^7 n/ |5 Z6 c' a7 _1 U" i此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。
0 T+ p2 J* O+ `8 V
情况三：
此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。

9 s8 |* w$ @8 Z, w% ^& y% P现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。
" U; ]5 n8 L' O# Q+ k2 D6 v( K! W
" y3 G6 Q: }7 j( Y6 ]1 r; H由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。

7 p7 c* W- ]' Y! z7 B+ ]0 g9 K, |如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。

; U# `3 G5 u) Q  O' r5 S% S: P
情况一：  
假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此

' X* Q% R9 k  H& p- g1 |, _0 D
  J7 }7 C  G  o$ d# C0 e


5 c( x/ l. ^& k3 H
这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。
6 R% r0 G  y; B
/ ~- y$ E- U( @$ z# F+ Y3 b+ ]+ R情况二：  
令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式
- x) l' @0 M) a6 ^

1 Y( R: N5 N* Q2 Z/ r, Q1 ^# I
3 u0 S) j! U9 G
+ ^7 a6 [/ u  C! G6 X

这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
利用p+q=1，上组方程式可改写为

; p7 r' _) d5 M0 o; z6 D8 Y

/ b4 c( `# @# w4 t% U- h


2 Q/ [" Y. i+ w5 s5 L9 h0 \0 K: L! m1 X' N两边相加，并利用 、，得

. i/ S# i6 ]/ a3 z* U
% q! M$ D$ m) q! S2 B+ ~8 n4 t



若取前 c 项相加，则得
& t7 D( Q- M6 K- v/ I5 B

# }3 d% I$ L: u" `% u
( A7 `4 v! R0 e  [6 T& G

& A' `5 T3 {; ?% E& Z: i  d
情况三：  
* k$ Z* J+ A$ f仿二之解法，可求得


2 h8 J& `' }" `* j2 Q! x

/ m( ^# R8 ~5 r% G
6 f- H+ V. Q' l/ [" I7 |8 _' @6 \
  ~+ X9 F5 G- }! E" }
( z; |" H% E; h) U保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。
  E/ P8 v" U# h2 V
首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。


定理：
设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
' v" d* [. V/ e- g8 {5 G此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。
  q$ Y8 L7 ?$ M5 }* B
- }9 P4 u$ t- E现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。

首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。
( _3 f  L7 a3 u
' k6 Y! m3 i, v- k6 [  ?至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则

* c5 D! @8 L8 f7 Y0 b' H& J# u9 o) }



4 [2 A0 F% I& x

1 @  f3 l* D$ J
其中  为所下注之金额。利用




* y$ b5 X% h4 `
+ r9 O. U# s/ e% A, L

! |* {% W0 c" B  Q  \" K9 r6 v! {
4 [  }, A( d6 X. Q. t, b可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但
- o6 s1 t( y# _) L4 j% F
2 l+ o3 z; z" U7 w# H

  D( ?4 U- e) b) G
: Q% M( E- {; o( Y) K( s

; W0 Z( \  t' ^, `

因此可得在情况二， 时，

$ Y/ S5 \0 _0 G2 A) U" U3 |" V
9 p$ g& [% o1 p

$ |( r) [9 x6 S: V, N2 H$ n

2 f  Z! z7 T6 D  f

! H( u# y" b# k而在情况三， 时，
  V  \) w4 Z9 V* q2 ]' i
" w' F, g2 H/ j# n, N" U- h




0 _) y3 Z, n3 z) |6 E; Z3 z

/ j0 F. L7 r4 Z* Q4 h: }) [但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。

至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。

附录
2 _% t7 ^, B+ M; q. R8 O3 ^

在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为
2 Z, ?1 y7 t) e- z1 O


0 N) f- x5 Z+ S+ G$ r




: {$ Q& e. z; V- B- B另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！