随机赛程的最佳策略

引言

- l  K, z/ s: n7 q& k0 s' R9 B: b在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。

问题
( M+ C- K% U) B$ U3 [( a5 S$ v

有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？

* m1 X, T2 N6 S( N当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。

7 P; s* y  c3 M! l9 N; U8 w# X本文


( A0 A3 W4 T" {- A) V问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。
+ X: {2 |/ R: i4 w2 y
为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。

  ^2 Y7 \: q: X( C! M% T" k1 E
方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
. Y, s) J8 M( m; V. `% J- Y) C方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
& i0 @# G& o. b* g1 G" t方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
5 G7 o5 u$ K+ e4 s: ~2 |6 w你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。

+ _. U$ m$ T6 \5 `$ Y首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。
; p6 U+ O$ A  v" \' i# |. E
% t  H, g" T0 _! E++,
+-++,-+++,
9 x/ W( \; \+ e5 `' O) \+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
5 q  `7 R# H1 Z' ~                                                                                                。
在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为

* f+ g6 ~. [2 E- C. A

5 h4 ~8 W3 i! l% |/ N

8 m' _' [( d5 Y
/ d* X' q  r0 c5 V; E4 m



( F# D" G8 J/ P$ ~+ W- F) F( X) ~. k现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。

( f( i1 C6 U# d* T8 M7 G# A++,+-+,
& Q; Y1 Y1 s1 m2 F9 Z# y& S3 a-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
+ j. N# P* G* A: f( r-+-+++,-+-++-+,
0 s6 k" H7 q# f, T2 t5 D' Z2 m+ i& m                                 
, ,
                                                                                。

: k# r( O$ ^, Z+ C; |5 j/ t仿上之计算，可得此时甲赢的机率为




0 L+ J/ y: c7 a1 I: C8 d7 ~


0 U6 y7 f9 w' n1 }5 V; ^
; R* L. l) `& U8 H最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。

现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。

这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？
% ]1 I% O2 D2 x
. P4 _  B5 B2 d3 ]现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。
- U5 d$ b+ h8 Y

情况一：  
此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。

情况二：  
此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。
( U$ [% N% H5 m% Q3 M% S
情况三：
* o, H% ~  A8 T4 M1 s  z此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。
, @6 E( D3 P* f8 ^+ y1 N' b
现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。
; g5 T' t& s7 f5 L
由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。

如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。


; Q! M$ L& c2 q& L. Z1 g* O情况一：  
假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此
  V% c( U3 c/ g: a0 v5 r6 ~


. ~& L/ z. I4 a, q
! G2 l4 x4 S0 @9 r. O

这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。
7 C7 f; R1 D5 b. U% w
) A- b) s4 |" t) O: M. Y) ?情况二：  
% Z  j5 q" k) Q7 W) y/ o令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式

, Y3 T/ N0 H/ f6 U" x


8 o! |" n8 |1 t; X  U  r
( ^* t* a0 U) k/ k
9 C/ ~' a8 b% J6 |3 ^这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
利用p+q=1，上组方程式可改写为




' J9 ^  ^6 \0 f7 C

两边相加，并利用 、，得



, ~* d7 h0 T$ N
, a3 o7 ^9 N) y1 l" ?9 g  Q
" T; D* T4 I9 H' i
若取前 c 项相加，则得


0 g9 u  Z8 t' N+ X9 k9 J

8 ^% p, h% B1 }

情况三：  
( Z; R4 ]6 M$ W/ c$ u% V! e仿二之解法，可求得


5 w" U  m0 O8 X. z



3 I3 c  f% s/ C6 X
4 q: ~, Q' R% H5 D6 A保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。

$ l) r+ |. X7 J, h, l. D首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。
  t) O: o! T8 t" ]

定理：
$ Y3 g8 ?9 }1 |0 J% ]设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。

现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。
8 g0 Y5 B* }. X/ |
$ y7 c5 n/ g& Y) Q首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。
* Z  I7 X+ Y" n& |% t9 c$ A
至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则

) n2 h) z& I+ Z2 z: E- h  w
+ |2 k& ~2 @' b( Y
9 z$ h3 l; X( \& d* i
3 m/ ~, ^. l' D9 w+ C



其中  为所下注之金额。利用



! \. y7 c, [7 Y' W5 X: b) z6 [7 o
5 t3 \' v& s& J  Q& J) A9 W
1 J4 _8 [% \) D  \) m5 z, T

' W+ O# q, J0 [6 M7 a- H
可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但
5 b: _8 P2 N! T( p- A/ R
2 f0 c% ?: }) `$ q& v5 N: r+ r






# h, P( ]  ?3 g) Y因此可得在情况二， 时，
9 s$ A5 m. r" m7 u9 W: C
8 q  `. e0 ]9 ]5 [




" Q0 r/ r6 m4 X. s7 S  W
0 J9 O8 T" @6 J4 N3 o/ m: B
而在情况三， 时，
3 U% j+ o8 c% X& B5 e

! S4 r3 l3 ^" O4 I) p

. w' o! C0 g0 d. K/ ^& p% `8 N

$ k  D' h3 f+ U9 C* M1 F
3 n9 m: T! }9 N; @( n% G
+ f3 X2 I" K3 z& o但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。
- h' N5 t# P' b6 S
至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。

+ \0 O1 o2 C8 S6 M附录


2 Q8 ?9 ?3 N6 A' q7 {3 s3 w在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为
( _9 q2 }' ~- O' o& b' [
- k2 Z, z- V1 U! j# B



' Q2 ~5 w) e  S9 z) @& M
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4 Y2 }: U% k5 ?8 A4 f
" _7 @/ ^' d/ g' e1 u4 ~  }另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！