随机赛程的最佳策略

引言

  [- |" p5 W4 N' q( ^在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。

问题
5 v6 N8 n( m6 @* d6 [

有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？

当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。
8 J# A6 ~) p4 k  ~0 R
本文
0 X% i5 E+ \. ]
4 z2 J( R2 Y3 E1 u" i+ ~
; h- M7 W1 y5 |3 \8 T: |5 P' d问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。
% ]5 w, `, K. \  P( `
- B9 @/ X2 k$ H5 k6 I7 g$ x为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。
( W' `' ^) y& c; p* [" o1 V$ ~

# G) U! _7 `# P/ |0 e3 C  [/ H方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
& a6 }; d0 L: h. @& {7 I8 R. K方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
1 Q" J" ]& k) X" V( u* Z$ P方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
+ ?2 F4 V9 h9 }7 k, }( J/ @9 F- W3 j) |你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。

% D- _# R" v3 X( _* [3 f首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。
7 u& H* O% Y  G( b  {+ B; G
++,
+-++,-+++,
+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
                                                                                                。
在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为

& Z+ [% k6 z) k: {7 w$ x$ W! w$ ?

* ?( q' [1 O7 F, p/ a: \

% F* ]( T  {' Z3 \% m
& I3 q" e  o, T" ?* Y, G

' y* D" }. H' s

现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。

++,+-+,
-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
3 R: @  L7 c" S5 }+ K-+-+++,-+-++-+,
; X/ N" W) [9 I, w7 G9 l& M! w                                 
1 M6 x+ j  X$ f, y: \% T, ,
                                                                                。

仿上之计算，可得此时甲赢的机率为
; F) u, f3 L; `. Y
0 r" M/ [; Z5 |( T/ D! O& w
3 f- |$ i* s8 z




& X, ^; U* d- L4 B! Z
最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。

现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。

这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？
4 O; q. T4 D3 G( B9 O! i7 y
现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。


/ I, m& Z1 t6 b" f; C情况一：  
( p- Y) ~9 f8 z3 {6 s2 q此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。
( X* E0 H5 \) O! Z
. L6 b. N, q3 j- f情况二：  
# M7 c- `4 H8 q. G; c& I) }此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。
" ]. h8 W$ ~1 {6 k1 d
情况三：
此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。

5 |; y8 T4 |# F/ z现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。
. K7 n. F! F9 T4 i) B) o1 G( V3 W
由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。

2 {! R; m/ i3 s( K如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。
/ t; }3 \  d" `9 v7 }- ~+ m. O( L

) w% h4 `8 X" }: _' I( p5 h情况一：  
假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此

  F% d8 D1 C7 {7 O
* ]# L- y0 ^& {- ^

' s* K0 x/ q" V! f+ L1 ]

这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。

情况二：  
8 R, z% Y" n; k$ g7 N# J令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式

8 c4 t/ x$ U3 f8 K8 p
* _) @8 M; R) a4 [) d' Q1 N+ O



这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
利用p+q=1，上组方程式可改写为
8 y2 J$ M: L. {  C/ U" |$ R4 d3 O
3 O4 c0 R# i) D- ?1 s
$ _0 Z! L& k& {
8 l% R& z& e/ B0 d


两边相加，并利用 、，得
8 x8 h% V2 v7 q3 H, x3 t; ?

* f4 E$ X5 e3 S& T9 T% {

( p: G4 o1 n; e! ?, B4 v. g
+ A$ N, ^8 g! Y" \) e
若取前 c 项相加，则得
8 z# a2 {7 {8 M+ M0 I9 Y
! L  y0 p. l" @9 j) @3 A4 Y

$ x. H0 M/ S) X# b) z6 y


情况三：  
仿二之解法，可求得
7 n9 s# Q* N+ E4 X2 a" f
# G) \0 ^- Y0 o- |3 z* O
+ Q: M, ?  a1 N. e

0 h/ y* Y3 [2 U6 u# G8 T
$ A! f, W, [3 A: d# r5 C
* x: e- Q$ ~, X
8 O/ X% a: ?' W8 i保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。
1 `; j) g& n+ x; ^  e% Z
首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。
$ w1 ?1 g6 Q$ a$ r

6 R1 u4 y3 q! B% T2 ?9 J1 d' @+ p定理：
设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
3 z2 c3 J: v2 i0 m此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。
* k, v6 k) K  @( }' j8 Q
现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。

首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。

: v% P# k; Y" K+ R至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则



$ C- e% O8 c" G1 G8 d, [8 ]

6 N# Q  ]1 @, n* L& A

- `# r5 Y) |8 @% h/ V( A4 Q
其中  为所下注之金额。利用
1 ?$ ~8 t6 ^/ X8 w3 C

& u3 D$ A  d  p& g
, x3 E+ T6 y* A9 K# _8 U: N



& ]* T) A1 M0 b  E* z7 z) B
可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但




; _- t6 H( |, v. ?1 c. Z8 W

* z4 y$ V1 a2 C0 T9 _3 l% j
& D3 w& l+ b0 k3 O
因此可得在情况二， 时，
. z* o: ^' n4 q5 g# a0 B# W
/ e& q5 D4 R3 \* K) ~- F, _

9 ~0 c8 j) x5 ]- n) O# H* v




而在情况三， 时，


8 ~+ t  Y6 G( B- ?- j$ c4 _4 ?
0 ]8 X. [1 a" y8 j2 O
2 t& _( y1 Q6 A5 x6 l

+ [& R0 y* r% N7 C/ R8 G3 ?
8 ?7 E. j) u, K2 G& F5 R
. v5 \4 `! p, t# h但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。
! G! e- m" \1 [. U' x8 W
至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。
- s* y  c$ v* B1 R
附录


在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为
8 ?& [: u9 L8 ]4 z
; ^& j) M- A& g+ B: C9 d



' X6 {% j5 k' Y
( w4 d8 z% E3 x2 d1 J

另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！