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引言 , J* D. a4 l' D
4 p* ^7 b3 R9 }6 e4 g) ~7 X
在日常生活中的许多场合,像生意的投资、决策的推行等,我们往往无法事先确知其结果,但对其成败的机会,则往往可事先估计出。这种成败的机会,也即是我们通常所说的事情成败的机率,然而使事情成功的方法不一,所以如何选用一个方法,使其成功的机率最大,是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便,作者特考虑下面的数学模型,实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的,不单是提出一个结果供读者参考,而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法,让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。   c) {9 B& P3 h7 C
5 |( I& l: f% e0 T. }
问题 - v0 k6 R( B4 I& P. A8 u

3 S# y1 `, l+ V
% X: R: J+ e9 E* ]" T# o5 t有某甲持 c 元,拟与持 m 元的庄家赛局,并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中,某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽,整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注,才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢? 1 j, s5 F+ R$ c$ m3 X% |

/ W+ ~# _+ s' R. C当然,我们假设下注的金额是合理的,比如说若某甲现已有 8 元,而庄家只有 2 元时,那么某甲最多只能下注2元。 * S! b; \! T& z8 X/ O
- E$ W! K0 ~  S2 t- f
本文
$ e1 `0 R7 d  T) V- ]& B% i0 e% a3 m, y/ B

+ j- f3 o* w( t0 R( }问题的叙述虽很简单,但细思之下,却发现其并不很简单。这道理不难明白,因为可下注的方法实在太多了,要一一比较是不可能的。
0 x- X# M" Q6 {% r# ]/ Z- H. F% J  l& j! g
为了要克服上面所说的困难,数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法,这些方法所以较常採用,泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然,直觉的认定往往是不可靠的,所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法,并比较其优劣。
4 g. H% y6 A$ C. ~  ~6 L0 r  ?, |* `/ ^

; |* E. @2 Q" p% W+ z方法一、每次甲均下赌注 1 元。(显然,这样的下注法最保守,我们称之为保守型下注法。) # B/ ~* Q- x' n' _3 E
方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了,则下次仍下 1 元;若输了,则将赌注加倍,依此类推。换言之,往后只要一赢,他就下 1 元,否则就把下注金额加倍。当然,我们假设所下金额是合理的。(显然持这种下法的理由是因为只要一赢,那么非但所有输的金额即全捞回来,并且反多赢 1 元,我们姑且称之为输不起型下注法。)
3 _( u/ o( r: N. M$ f/ ~4 L方法三、只要许可,甲就将所有赌本下注,因此只要一轮,某甲就血本无归。(显然这种方法是最大胆的,我们就称之为极端型下注法。) # X' @. {1 R! R' l$ ?; a' ?
你会採用哪种方法呢?能说个道理出来吗?事实上,答案并不简单,它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关,也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计,我们以「+」表甲赢,以「-」表甲输,并以+、-所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。 ! b4 G$ F8 S, u
- ?2 a7 @' I  i9 F
首先我们考虑保守型下注法,此时只有在下列诸场合,甲才会赢(即庄家赌本输光)。
- l4 G2 l/ a, Z0 O: o* o
# |  S" X' }5 m2 v++,
+ @1 m, s5 l3 P8 ~+-++,-+++,
: N0 E( D9 c; J  Q2 S( \) y+ z+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++, 3 y- w8 \# t' y3 m
                                                                                                。 / [2 N2 M- u( |9 k$ G  M, O
在第一列 ++ 中,甲连赢两次,此次机率为 。在第二列中,甲赢了三次,输了一次,并且有两种可能性,所以其机率为 (q 为输的机率,故 p+q=1)。依此推导可得在第 n 列中,甲赢了 n+1 次,而输了 n-1 次,并且有 2n-1 种可能性,所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中,甲赢的机率为 ' a+ t# D0 v+ D5 J' }0 F9 |

3 w% E( t2 b4 _2 z6 w$ W9 K5 H; u) q
% E% B' h; B5 z. q. l
! j3 u! U: B2 R' }
: A( a* ?2 @! j: p
. ?8 \" [9 C1 H3 D3 Z2 P0 ?  \- V. H) B

1 V2 W# @3 B/ Y  E
5 o( h: l% c" x
1 X# D2 d: e- N4 R8 j3 X/ o- m' ~
, H) |% w3 l. b' ?7 F8 Z$ I现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合,甲才会赢。
9 T4 z& J& b) [% q* s1 y% o9 [/ a9 R( {
++,+-+, " B! A( m4 P9 c2 t7 W3 M6 G- K. X/ b" c
-+++,-++-+,(注意:甲第二次仅能下注 1 元)
5 e; R: w* X4 U6 `-+-+++,-+-++-+, 8 e5 ]1 s# ^* Q. P
                                 
  K: W) b+ L1 Q- d$ P, ,
6 ^7 p2 e3 X; k* N2 w& A3 q( f+ n1 b% j                                                                                。 ' Q8 s$ S+ j0 O- ^3 T7 f0 o! b  G" q

4 d+ q$ \: ^2 {7 s8 U仿上之计算,可得此时甲赢的机率为
& }& r) ]% U) u* i+ R$ p/ n4 {0 Z. G6 C+ z# Z
" n6 _. h7 w8 I7 X1 s9 v! N
) q: s3 w2 |/ A9 z3 r# Q+ q$ s

/ e( _* X2 N2 O0 ]6 P1 q1 r" g7 X8 J( F! }- G2 _

( _* Z; e: J! ^: j, @9 o& z. i8 ~0 H
9 `, o. ?% j5 H2 R+ O
最后设某甲採极端法,则甲第一次即下注2元,因此一次就决定了输赢,所以甲赢的机率为 p 。 + ~' d+ ?$ p. }: A3 w7 b" U( M

! n, l9 \) n' p9 a8 P3 f, @现在我们再回到原问题:究竟在这三种方法中,以那种方法最好?由于相对应赢的机率公式已求得,所以我们只需将 p 值代入,进而比较其大小即可,举例来说,当  时,三者之值皆为 ;而当  时,三者之值依序为 、、;至于当  时,则其值依序为 、、。这些数值告诉我们,当  时,三种下注法没影响甲赢的机会;当  时,则以保守法较好;当  时,却以极端法最佳,保守法最差。 * f  \. X" ?8 }

0 t3 W" O9 t& X; `& h这些结论,是不是有些出你意料呢?其实问题还没全部解决,迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好?还有,我们仅就特例来考虑,在一般的情形下,答案又是怎样呢?
: l# _; [$ s2 M$ r' k4 ?  f" S  K6 W9 _2 a
现在,先把最一般性的结果写在下面,其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。 / r& x3 B+ _- \4 b
* q8 Y) T$ w# w- E+ q4 u) c# Q
  V2 w$ H# R) i" a/ `% c
情况一:  
+ j% s5 H9 }1 v5 k% G! v此时不论甲如何下注, 恒等于 c/(m+c)。
+ Q4 }' l0 W( t5 r- `& G3 O# f1 }
情况二:  
. ~0 ~+ I( ^' J+ h6 y4 n此时不论甲如何下注, ,而右端为保守型下注法赢的机率。因此,在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面,极端下注法的赢面最低。 6 ~; Q) E8 b+ \) J7 T
' j6 A* ?4 Z: J: }
情况三: , f! w9 a$ }9 I1 r
此时以极端法最佳,保守法最差。同样地,保守型下注法赢的机率为 。
! ~! u, I2 I! W5 V
7 [" o% O- P7 n  d1 q6 d; W现在我们就来研究,为什么会有这个结论!这用到了一些数学工具,不过对其中较复杂的部分,因顾及本文的可读性,笔者只很扼要的叙述一下。
- Q% H) U) u' Y" i8 P$ O$ N7 y% ]* H' `. h
由于在上面的结论里,保守法处于一个居中的地位,所以我们先就此法进行讨论,然后再进一步研究整个问题。 ) O( H: J& P% R1 d
$ [( |2 P  z$ `
如同以前, 代表当甲所拥有的资本达 i 元时,他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元,所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地,,,而  为我们最早所想求得之机率。
* S7 A# B8 G5 l' C5 ~; a  }8 a2 `0 Y0 F1 C* c
9 L0 E# s& P: [4 }, q
情况一:  
7 z3 p3 P  t# s; J4 _假定某甲现有 i 元,那么有  的机会,他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此
. r* n. k' w: Y( D: Z
$ w% ~5 l$ L& q3 L% ]" {$ N5 W
. t+ d. @2 w0 b9 u
$ J6 [# ]; F- ?1 U/ }+ q% L' B( k9 `* _
1 F& X& Y3 d8 W. O3 ~

, }2 w7 ]6 O" [* v0 k, b这样的函数 ν,在数学上是一个线性函数,因此解的通式为 。由于,、,得 a=0、 。因此 ,亦即甲的赢面为 c/(m+c)。 7 f# g+ X- O8 H: _) ~8 F0 w

$ J9 a' k) l2 h& v情况二:  
% ~; i& D( B9 E' m0 f% _- c令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式 ; [2 a. c4 b" X$ i! Q  C

4 X1 E: _7 W; w+ h# V2 f, l$ W7 d! F( T* ^* M3 `
* }/ F( S4 h- b: O
6 l( R0 u" r8 i, o; B; N
: n' M8 j8 `( f
  U8 n! o, f: u  o2 a
这样的一组方程式,在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法,但其道理较深。为此之故,我们特採用下面的方法。 * D! O6 \. c+ p  k( e* b. s
利用p+q=1,上组方程式可改写为
; j3 ~$ G( E4 K. x6 l6 k4 P+ z' d! y' e- u$ x

. R$ ^* o/ H! l
5 \" |1 s5 ?8 Y$ q9 @' R$ `
2 b% t; l2 ~( V0 z% O0 m' j. d. J5 A% j

  M  _: k* a8 h两边相加,并利用 、,得 9 n! `+ Y! ~) e  }
9 z* g% u& R+ z

: f6 c. J, x& f: r3 J! s; H6 \/ r) ^% U- C3 w' H

# K6 }" H* e' @% p% d# B& r" d: P# J+ E

) m& t0 h. j) ^9 Q若取前 c 项相加,则得 & ^  l6 N8 Q4 I( U$ E
3 O9 W& ]9 j' _" m1 a

: a" C* N2 Q7 j$ Z# @7 n9 s. D- i! ?$ C
" n0 O* o2 z! ]- x9 h9 H9 t

. q# q. D3 e9 o' G: M" v
- l# W9 {+ _! x) S8 C6 y2 m情况三:  2 t* f7 F! G6 c: x4 n. [
仿二之解法,可求得
+ l+ \) A8 a6 v2 n! M, O9 h6 t( W1 V0 e( O6 i! K3 f* J

! Y9 Y0 S, k5 R# \" H5 D- K# t6 K. A- I7 m& O! [! N
+ t1 {, H/ l$ O

+ M/ M; `8 P% ~+ @8 X3 d2 `. c$ h( r& y
$ ?4 v% u" [  l. r5 l# U
保守法的  已求得,现在我们来研究为什么在情况二时,以保守下注法的  为最大;而在情况三时,反以保守下注法的  为最小;同时另一方面,在情况二时,则无论何种下注法, 皆一样。
9 p7 ~1 N0 r+ U4 t
5 Y8 |( d9 ]! O2 n; a首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时,甲所拥有之资本额,因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c,即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间,因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。 6 Q; ^( i* R/ R' F. Y* H& l
; ?) `1 Z" n1 e, i( w7 w+ v
2 B* y9 ~9 ^5 z# k
定理: 4 v. |3 }! k1 b# D5 j
设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下,f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn),则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」,则结论亦真。
# Y0 @7 r3 o! D6 N+ R此定理在机率学上,即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem),它的证明已超过本刊程度,所以略去不证,但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说,其实是说若你的第 n+1 次赛局,平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值,则当整个赛局结束时,f 的平均值也与原先值一样。另一方面,若在「」的情况,亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值,则当赛局结束时,f 的平均值也曾比原先值为佳。
3 J, G, f) L* G2 ~3 L0 x9 W, x/ N  K6 M' r3 i
现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。
" o* }, G0 t* @4 d
  P' V4 r- g. Y首先,我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn,则不论对何种下注法,因胜负机会均等, ,所以若给定 Sn,则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ,所以知不论以何种方法, 。
% L$ ]% [9 u: X2 i& i+ I9 `$ H1 }: N1 l6 z( @
至于在情况二或三时,我们取 。此时若给定 Sn,则
+ X. ~4 a/ @& E; g. V0 A, ]* C$ N9 K8 v) K
3 |+ n( C8 A& x

& m- @( ~4 Z/ w2 ]) w
$ f4 A  f+ w$ s1 E: {8 y* J% l8 s' i6 _
7 y( l+ r4 @# J8 t4 A
6 q- p% X5 T( h( B6 @7 ~- t9 t3 M+ o
, Q4 g7 n" P# m- x$ U. g
其中  为所下注之金额。利用 1 _7 @( J( @0 o$ Q. n2 }
$ p& K' J: ?, h+ J
' F4 u2 f; @% l1 ?+ N; c
2 n3 {2 t) |$ B1 y5 c( p

6 O( u# K* x* S" q! u
1 o7 @+ z; Z3 d* I) Y' a; a% H! P& u0 l* b4 ~
- Z# W* o7 f" _4 b: p$ |

4 r! D* T2 ], w" t$ d可得不论以何种下注法下注,若给定 Sn,则 。所以由定理知 。但 3 J$ z$ S7 ^+ T- v6 U* z+ y

4 ?9 ^5 a# X  F- E! ^8 R% u) |6 e$ H2 M! j

9 ]+ Q8 x3 e1 H( ~
1 K4 v# M( n! }% U( ]8 N2 |4 t4 R" ]* A5 |
, X- k" M4 ]1 _9 K& [$ ~9 |

6 i( S6 c) g5 y& F: j) o2 p7 w
- |/ J; c; S) N& a! M因此可得在情况二, 时,
: u+ E8 R; T( R3 x. X2 B! g+ k5 B! m4 i9 [. k! P7 k
7 s1 P( T# j) o$ W! Q1 N/ m
' F- m( D6 }) w1 \
3 [) D' t4 \" X
$ z0 Y- `1 N8 i4 ]6 P( n5 ~
0 ?) A. W; p  c
9 r: F" f, s9 Q' |  b3 F
5 U# ?. U* U( D9 S' S/ k
而在情况三, 时,
5 j2 T3 q: |1 K5 ^+ t: ]: `& j
% T- [' F" Z- m: D4 b" S' [
% @3 b4 m) L) j, @$ b' M
3 B; r9 ^3 J" z8 U; K) `" G' l. K( ]! T0 \8 B, g4 n& `

1 Z  }& t3 Y+ }# e* ^5 D; f; v" f- C  K: v2 r' l3 S
; V/ @6 y% b) M, `+ X, |
$ u+ M) u2 g$ H- j; y
但  为採用保守下注法时赢的机率,所以知在情况二时,以保守法的  为最大;但在情况三时,却以保守法的  为最小。
) t+ t6 r, H- m& k/ L0 R
" U5 p6 o7 G4 E- q! B# D) J至于为什么在情况二时,以极端法的赢面为最低;但在情况三时,却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论,只好从略了。 $ G8 }- q8 x0 ~5 `" \$ s

0 w- Y! \- R/ A+ n9 w: Y附录
4 m$ p+ _0 r4 f3 u! S) D4 l& A9 K; g/ |& i2 k

* B) S8 ?! d; C在本文中,我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题,比如说,我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T(亦即期望值)。关于这个问题,我们有如下的答案:保守下注法的 T 为最大,其值当  时为 T=cm,当  时为 6 N" Y) E' C. _6 y$ I

% f9 q" m! u3 F, z# q4 h! [
0 ?; ^4 Z8 |0 y+ q
8 w$ v* C) U: i* ~: ?% Y/ M  B9 x5 R+ @5 A) e/ A: g1 O' u6 n' @

% |# w& H0 I1 \; ?1 B7 c1 ?9 g2 C9 f  Q. V& C* W1 ~5 q

! i5 Z7 q/ G% X' g3 |2 P9 C) \, f
, k' C9 t; s1 ~' h$ J另一方面,极端下注法的 T 为最小(但无统一公式)。至于其推导过程,与正文中所用的方法类似,只是演算步骤复杂多了,所以从略。
avatar
太长篇了,而且非常的深奥,希望有玩家能看的明白。
avatar
3#
好文章,学习了.
avatar
4#
又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.
avatar
5#
主题回复处广告图案-天策传媒
我也来学习下
avatar
6#
太深奥了!!!!!!!!!!
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