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引言
# s1 r7 N5 q% p4 I
. I4 {: x( |) O2 ?& K在日常生活中的许多场合,像生意的投资、决策的推行等,我们往往无法事先确知其结果,但对其成败的机会,则往往可事先估计出。这种成败的机会,也即是我们通常所说的事情成败的机率,然而使事情成功的方法不一,所以如何选用一个方法,使其成功的机率最大,是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便,作者特考虑下面的数学模型,实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的,不单是提出一个结果供读者参考,而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法,让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。
, z4 Z/ O, U) V' Z8 X+ a1 u4 G6 a9 h8 q' Y/ Y* }  P, m$ e
问题 7 q2 z* |& X. f

' e- b$ l& U5 B+ n4 m7 j9 ^  \7 l- ]$ B% r8 [% G
有某甲持 c 元,拟与持 m 元的庄家赛局,并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中,某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽,整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注,才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢? 2 \0 G% z! w5 ?5 x. o9 l( ~
. |6 F8 r7 b' a3 S" K
当然,我们假设下注的金额是合理的,比如说若某甲现已有 8 元,而庄家只有 2 元时,那么某甲最多只能下注2元。
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本文
; K0 I$ m" D' ^* h+ d* x1 A) U5 H4 n/ L  b& m1 N+ G

; W) _9 }9 i8 E# I5 y6 Y0 s9 Z5 X问题的叙述虽很简单,但细思之下,却发现其并不很简单。这道理不难明白,因为可下注的方法实在太多了,要一一比较是不可能的。
( y! l. d6 E  F, x# [5 A
. N2 e0 x; I# k5 r# v为了要克服上面所说的困难,数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法,这些方法所以较常採用,泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然,直觉的认定往往是不可靠的,所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法,并比较其优劣。 # \" S& Q/ X, I! [/ N" K# y% y( D" r
' P9 {% F' Q& A& Y
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方法一、每次甲均下赌注 1 元。(显然,这样的下注法最保守,我们称之为保守型下注法。)
" _( L$ H  b3 O- v方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了,则下次仍下 1 元;若输了,则将赌注加倍,依此类推。换言之,往后只要一赢,他就下 1 元,否则就把下注金额加倍。当然,我们假设所下金额是合理的。(显然持这种下法的理由是因为只要一赢,那么非但所有输的金额即全捞回来,并且反多赢 1 元,我们姑且称之为输不起型下注法。)
7 c0 r+ [% o2 o6 z# {" k1 N方法三、只要许可,甲就将所有赌本下注,因此只要一轮,某甲就血本无归。(显然这种方法是最大胆的,我们就称之为极端型下注法。) 6 r$ O8 v% F, Z6 M
你会採用哪种方法呢?能说个道理出来吗?事实上,答案并不简单,它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关,也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计,我们以「+」表甲赢,以「-」表甲输,并以+、-所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。 3 }7 l# p* M( N8 _5 }2 s: v
0 d3 @; I# l! f7 L  J/ `
首先我们考虑保守型下注法,此时只有在下列诸场合,甲才会赢(即庄家赌本输光)。 5 O0 E$ }& {+ q: Q
4 W( F) d: {) i$ x
++,
8 G! {6 T& a+ O' F, S3 i+-++,-+++,   F* N) `% o5 W- Z# O
+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++, / r0 A2 A! n& }# |; m/ d
                                                                                                。 6 e8 f+ o* d: a& W# f& t( T. A
在第一列 ++ 中,甲连赢两次,此次机率为 。在第二列中,甲赢了三次,输了一次,并且有两种可能性,所以其机率为 (q 为输的机率,故 p+q=1)。依此推导可得在第 n 列中,甲赢了 n+1 次,而输了 n-1 次,并且有 2n-1 种可能性,所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中,甲赢的机率为
& W, h( a- U3 W& w" H
- l9 V0 M- u2 u2 ]! m
" w6 A6 t$ P8 s& h. [8 r0 Y( T1 y$ R( \7 n6 c5 L

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, J8 b" s/ h5 H" y2 S% t6 L! o' Q; S
现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合,甲才会赢。
9 y5 `1 l# ?  L2 t; u* M/ d; B! x* O  J& ^
++,+-+, 6 l+ b4 b% b0 ?: R$ \' K; L2 m
-+++,-++-+,(注意:甲第二次仅能下注 1 元)
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* u: @. @. t7 ]* _( M1 `# w; E1 f3 a                                 
! J: @' Z3 R: p# E7 G, , 1 q4 ]* r8 G4 e, A
                                                                                。
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) L' J! Y; r% N# \2 i  L6 [9 Y仿上之计算,可得此时甲赢的机率为
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7 D) r( q% L9 f& E$ |8 O+ k
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2 h1 y9 t4 |- B6 Q$ A

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最后设某甲採极端法,则甲第一次即下注2元,因此一次就决定了输赢,所以甲赢的机率为 p 。 + M2 E/ A3 f1 d

% l- a7 z& K2 C. K" n) I  N, F现在我们再回到原问题:究竟在这三种方法中,以那种方法最好?由于相对应赢的机率公式已求得,所以我们只需将 p 值代入,进而比较其大小即可,举例来说,当  时,三者之值皆为 ;而当  时,三者之值依序为 、、;至于当  时,则其值依序为 、、。这些数值告诉我们,当  时,三种下注法没影响甲赢的机会;当  时,则以保守法较好;当  时,却以极端法最佳,保守法最差。
' Z; h, ^4 k4 e6 C1 f. q) R5 f3 K$ ^6 C5 w7 n+ v* Z* J
这些结论,是不是有些出你意料呢?其实问题还没全部解决,迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好?还有,我们仅就特例来考虑,在一般的情形下,答案又是怎样呢? 5 w0 I; O0 l6 T. }
0 M4 r; o. y6 d$ m# m" H7 x! B
现在,先把最一般性的结果写在下面,其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。
' }# A# D$ w/ l, j7 {5 t
% v) l' c3 x9 D& e: I
( B0 N6 U3 O$ `9 ?! g情况一:  ' q0 {8 U5 f  t! A) H' H. w; y# I
此时不论甲如何下注, 恒等于 c/(m+c)。
' _3 G  t, {( O/ t
  j; i5 O) i; r3 S" E情况二:  % F$ M5 P6 L5 q  e4 v- i
此时不论甲如何下注, ,而右端为保守型下注法赢的机率。因此,在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面,极端下注法的赢面最低。
- R0 u5 ~: D3 d, F* y, \6 m+ v8 j: X
情况三:
3 K, @! g" @& c5 w6 _. W此时以极端法最佳,保守法最差。同样地,保守型下注法赢的机率为 。 4 A- w0 g, P6 ^
+ H8 s: H- @; g& v
现在我们就来研究,为什么会有这个结论!这用到了一些数学工具,不过对其中较复杂的部分,因顾及本文的可读性,笔者只很扼要的叙述一下。 ( P* Q, j, m! d. U

# _& o) W% ]3 s+ T( O由于在上面的结论里,保守法处于一个居中的地位,所以我们先就此法进行讨论,然后再进一步研究整个问题。
% y# y; |* h; J1 \6 Q: w0 V4 H
$ c8 ?8 ^4 ^  C6 F4 t8 o如同以前, 代表当甲所拥有的资本达 i 元时,他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元,所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地,,,而  为我们最早所想求得之机率。
  p6 c3 |$ q+ H0 R
: y" A3 q3 s: e7 ]6 a2 U! L
$ E: ]2 h6 i, m- i) b情况一:  4 T0 X* a  b5 f. s+ P
假定某甲现有 i 元,那么有  的机会,他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此
( f$ z9 t! y+ ~) U  d, R0 z8 a+ k5 b' B8 H: ]

2 C1 S2 `. L8 i, E2 O
2 d4 |! Z" e6 e; l' R* h( d$ m* Y, y; @& m$ W2 \

- y) b- T  m) x- w7 ?' d3 y0 k( o- y. ~, Y3 Q6 N+ Q( y# D
这样的函数 ν,在数学上是一个线性函数,因此解的通式为 。由于,、,得 a=0、 。因此 ,亦即甲的赢面为 c/(m+c)。 + p+ C! _0 m: Q3 f+ {. U! G" ?* q* }

% l5 J7 Y" [! M8 N0 m情况二:  3 ~- x- O3 F, ^8 L# K: f+ U7 [
令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式 8 k% M- J5 y/ A1 r4 }& R* s6 |

4 x9 m- n+ |% p  Y& P- C6 s" M$ V; c

1 R: M# e6 o7 J$ \, {) D6 M! J. M' B, {' |: D! F& z
# P0 @. i9 F" D: M
8 @+ _" o3 X+ _2 j/ W
这样的一组方程式,在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法,但其道理较深。为此之故,我们特採用下面的方法。
( Q5 \$ @* R9 n: Q6 i8 Z利用p+q=1,上组方程式可改写为
. ]. @$ Y/ m) a% R2 T
. Z1 m2 w( g! ]" K) C2 r1 I
% N7 [% @. M) x: Z' d" z, Q2 T0 \8 a) |

. r5 b( b$ m  x5 z) Q$ Q/ s
/ B" o  ^3 {+ s# k; ]+ @) Y2 r1 a8 u) T5 B+ ^0 A
两边相加,并利用 、,得
3 z6 [  J3 z# F% L6 o( v9 I- g% U9 S7 h1 \

' ~; W( y& q/ H- c! y( E* a( i
* N: J0 F' p$ o. {2 Z3 S
: _; c5 d: y$ e1 b, ^& s) w8 C. O; g# R: N
1 [; t: t& T' \3 Z5 [; {
若取前 c 项相加,则得
1 _' D1 n0 e) r6 {5 f6 }) l. w7 }- x1 v) [$ n5 \$ ?% z* k# g
  E+ ^3 B4 }; u+ |' C

4 t9 C& g4 n, Q  `' u, x* k2 w$ y
% h6 j+ c. c6 w( J, N: Z. W$ l4 a! e- g1 P1 V) n

8 E* M2 O2 S+ o7 D& n$ \& f" s* _, a情况三:  
3 r: E) v9 u" h3 m) |# f% |仿二之解法,可求得 8 w/ P5 m$ `' @8 u( }) o! r

/ r1 q9 S/ n+ R) p# v# [
) o8 A1 h7 R, G) K" I$ r6 {# W/ C; G0 }$ y- ?  J
4 e$ p& ?' s0 A% g: r

# i3 t3 ^' b3 ^4 d8 ]3 h1 M3 Q" `& N2 ~* g' |/ b; ]) }

" }# f" Y8 ?- b+ h- C保守法的  已求得,现在我们来研究为什么在情况二时,以保守下注法的  为最大;而在情况三时,反以保守下注法的  为最小;同时另一方面,在情况二时,则无论何种下注法, 皆一样。
' p2 d6 N% N( B: N9 B5 |
% \* M! C0 @' E$ \首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时,甲所拥有之资本额,因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c,即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间,因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。
5 X$ m: V+ l/ |- J7 C4 m; Z* \) x
1 D" ^' U5 P% p, k( w
2 b8 \6 V; I/ W8 @* E. M: n定理:
1 J& S" @' y% A% `设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下,f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn),则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」,则结论亦真。
# P2 o2 x9 t- Z6 w- p此定理在机率学上,即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem),它的证明已超过本刊程度,所以略去不证,但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说,其实是说若你的第 n+1 次赛局,平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值,则当整个赛局结束时,f 的平均值也与原先值一样。另一方面,若在「」的情况,亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值,则当赛局结束时,f 的平均值也曾比原先值为佳。
% k7 d- N5 n% w7 {) l# i
+ M5 P2 j/ x( I4 o现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。
1 i* G# C4 ?# W$ Y. ~, x7 W5 n* }5 q6 N; {
首先,我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn,则不论对何种下注法,因胜负机会均等, ,所以若给定 Sn,则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ,所以知不论以何种方法, 。
3 e' _+ V3 b9 b- _4 {
  l5 n3 i7 b3 _2 f$ f至于在情况二或三时,我们取 。此时若给定 Sn,则
$ |* n* Z, |2 n! H  \
" ~1 A( R2 h0 [$ @3 V4 B% n
2 [' A' _! x, q% s/ z% B& g: n4 H# S* Z. G- Y: A' m

# t; p- x: l- ~
  \5 b0 q6 T# B% W+ t# q
0 H- T* u  Q" ]  D  U3 K4 b8 a  J% U4 B8 s" U4 s
6 x5 `" M) h7 C
其中  为所下注之金额。利用 # P/ J4 _7 s6 B. O

1 _; B7 K' }' j
  A1 G% d( L" h/ a
9 o! p% P& S% D  `5 {& N% ]! [/ z
' D1 M9 y7 S3 X; e. s) U
- G2 m( L/ @7 `) Q
, Q8 Z. s$ w- [5 p' _% Z  u4 L$ x' h' C) |0 p3 d1 E
1 W/ p& F2 X$ |. e; p3 e$ ^
可得不论以何种下注法下注,若给定 Sn,则 。所以由定理知 。但
2 ^/ o& \; u0 w/ y9 R1 k1 U* E5 j. G4 B) z) C5 G5 P7 T

$ M4 B  }8 I* z, z0 d
! _/ V* i8 a7 p! n  j: m
) f$ e, I" X4 ]
' B0 p' Y: K' p; T- d1 _& [5 o/ i: e$ Y

, B& x( Z' l7 x$ V1 H+ g4 X3 e
% n( F# c' g+ J因此可得在情况二, 时,
" E& j; h  W7 V6 r% v4 J( u0 A
0 \8 n( c, L* W% t5 n4 Y: D, w, m5 }" Z- |1 E
3 u' J& i, r  O; b6 R) O+ r) q

( ~% d0 r1 P; q0 X( {" L, f% o  v$ b' M/ p8 M
$ R& j+ w& J% G
% X. [- R1 K8 w2 \+ w" g

  ^8 F7 i8 o% i" \0 i而在情况三, 时, & P. j8 Y3 G4 n

1 i" m" `! ?# N6 {9 Z; A) }
1 k" b1 F' V% y, f# P) O
2 t; t; Z0 [+ Q
1 y+ W8 M9 }4 ], V, _& N) b' h& G" W! X/ I, A; L0 k2 V  A  E9 y
& A8 p* v' \) E; _9 h

! K$ |8 Y7 Y4 W: Y0 ^+ a& i. x) U, w/ e# O; @
但  为採用保守下注法时赢的机率,所以知在情况二时,以保守法的  为最大;但在情况三时,却以保守法的  为最小。
* x# _/ T7 t( |5 o$ k% ~% L6 Z4 R: E
至于为什么在情况二时,以极端法的赢面为最低;但在情况三时,却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论,只好从略了。 ' J- b7 E7 |) v9 h' x9 `9 M
7 k7 d' K& A$ N' b
附录
) s0 L- o5 n+ n# N2 W/ O2 X/ B, S% n% ?, M1 [' k, h; Y6 x, y

/ C6 C& m* J& J  a& i& G0 ^- R在本文中,我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题,比如说,我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T(亦即期望值)。关于这个问题,我们有如下的答案:保守下注法的 T 为最大,其值当  时为 T=cm,当  时为
( ?, j" V5 l- u# l1 H! V) t" L4 q- Q% w, ^0 O: r' L$ O  c* K- d1 n4 j+ \

" d. c% u- A7 g9 y3 n  v
: H' P# o3 ?" k" H' y8 ~" N, Y+ D8 [9 J, @9 K) e, n+ m

8 N" i- N( \1 K& t: I% l' z* v! K) N; T1 P% F; }2 J4 g$ z
5 q6 I! R, ~5 q' n/ X

( B5 Q# G/ N% C. o1 y另一方面,极端下注法的 T 为最小(但无统一公式)。至于其推导过程,与正文中所用的方法类似,只是演算步骤复杂多了,所以从略。
avatar
太长篇了,而且非常的深奥,希望有玩家能看的明白。
avatar
3#
好文章,学习了.
avatar
4#
又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.
avatar
5#
主题回复处广告图案-天策传媒
我也来学习下
avatar
6#
太深奥了!!!!!!!!!!
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