随机赛程的最佳策略

引言

在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。

问题

3 S# y1 `, l+ V
% X: R: J+ e9 E* ]" T# o5 t有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？

/ W+ ~# _+ s' R. C当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。

本文
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+ j- f3 o* w( t0 R( }问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。
0 x- X# M" Q6 {% r# ]
为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。
4 g. H% y6 A$ C. ~  ~

; |* E. @2 Q" p% W+ z方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
3 _( u/ o( r: N. M$ f/ ~4 L方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。

首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。
- l4 G2 l/ a, Z0 O: o* o
# |  S" X' }5 m2 v++,
+ @1 m, s5 l3 P8 ~+-++,-+++,
: N0 E( D9 c; J  Q2 S( \) y+ z+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
                                                                                                。
在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为

3 w% E( t2 b4 _2 z6 w$ W9 K5 H; u) q
% E% B' h; B5 z. q. l
! j3 u! U: B2 R' }
: A( a* ?2 @! j: p
. ?8 \" [9 C1 H3 D3 Z

1 V2 W# @3 B/ Y  E
5 o( h: l% c" x
1 X# D2 d: e- N4 R8 j3 X/ o- m' ~
, H) |% w3 l. b' ?7 F8 Z$ I现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。
9 T4 z& J& b) [
++,+-+,
-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
5 e; R: w* X4 U6 `-+-+++,-+-++-+,
                                 
  K: W) b+ L1 Q- d$ P, ,
6 ^7 p2 e3 X; k* N2 w& A3 q( f+ n1 b% j                                                                                。

4 d+ q$ \: ^2 {7 s8 U仿上之计算，可得此时甲赢的机率为
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/ e( _* X2 N2 O0 ]6 P1 q1 r" g7 X

( _* Z; e: J! ^: j

最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。

! n, l9 \) n' p9 a8 P3 f, @现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。

0 t3 W" O9 t& X; `& h这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？
: l# _; [$ s2 M$ r' k
现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。


情况一：  
+ j% s5 H9 }1 v5 k% G! v此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。
+ Q4 }' l0 W( t5 r
情况二：  
. ~0 ~+ I( ^' J+ h6 y4 n此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。

情况三：
此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。
! ~! u, I2 I! W5 V
7 [" o% O- P7 n  d1 q6 d; W现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。
- Q% H) U) u' Y" i8 P
由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。

如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。
* S7 A# B8 G5 l' C5 ~; a  }

情况一：  
7 z3 p3 P  t# s; J4 _假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此
. r* n. k' w: Y( D: Z
$ w% ~5 l$ L& q3 L% ]" {$ N5 W
. t+ d. @2 w0 b9 u
$ J6 [# ]; F- ?1 U


, }2 w7 ]6 O" [* v0 k, b这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。

$ J9 a' k) l2 h& v情况二：  
% ~; i& D( B9 E' m0 f% _- c令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式

4 X1 E: _7 W; w+ h# V2 f, l




这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
利用p+q=1，上组方程式可改写为
; j3 ~$ G( E4 K. x

. R$ ^* o/ H! l
5 \" |1 s5 ?8 Y$ q9 @' R$ `
2 b% t; l2 ~( V0 z

  M  _: k* a8 h两边相加，并利用 、，得


: f6 c. J, x& f: r3 J! s

# K6 }" H* e' @% p% d

) m& t0 h. j) ^9 Q若取前 c 项相加，则得


: a" C* N2 Q7 j


. q# q. D3 e9 o' G: M" v
- l# W9 {+ _! x) S8 C6 y2 m情况三：  
仿二之解法，可求得
+ l+ \) A8 a6 v2 n! M, O9 h

! Y9 Y0 S, k5 R# \" H


+ M/ M; `8 P% ~+ @

保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。
9 p7 ~1 N0 r+ U4 t
5 Y8 |( d9 ]! O2 n; a首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。


定理：
设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
# Y0 @7 r3 o! D6 N+ R此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。
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现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。
" o* }, G0 t* @4 d
  P' V4 r- g. Y首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。
% L$ ]% [9 u: X2 i
至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则
+ X. ~4 a/ @& E; g. V


& m- @( ~4 Z/ w2 ]) w
$ f4 A  f+ w$ s1 E: {8 y* J% l8 s' i6 _
7 y( l+ r4 @# J8 t4 A
6 q- p% X5 T( h( B

其中  为所下注之金额。利用




6 O( u# K* x* S" q! u
1 o7 @+ z; Z3 d* I) Y' a; a% H


4 r! D* T2 ], w" t$ d可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但

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1 K4 v# M( n! }% U( ]8 N2 |


6 i( S6 c) g5 y& F: j) o2 p7 w
- |/ J; c; S) N& a! M因此可得在情况二， 时，
: u+ E8 R; T( R3 x. X







而在情况三， 时，
5 j2 T3 q: |1 K5 ^+ t: ]: `& j
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3 B; r9 ^3 J" z8 U; K) `" G' l. K

1 Z  }& t3 Y+ }# e


但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。
) t+ t6 r, H- m& k/ L0 R
" U5 p6 o7 G4 E- q! B# D) J至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。

0 w- Y! \- R/ A+ n9 w: Y附录
4 m$ p+ _0 r4 f3 u

* B) S8 ?! d; C在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为

% f9 q" m! u3 F, z# q4 h! [
0 ?; ^4 Z8 |0 y+ q
8 w$ v* C) U: i* ~: ?% Y/ M  B

% |# w& H0 I1 \; ?1 B7 c

! i5 Z7 q/ G% X' g3 |2 P9 C) \, f
, k' C9 t; s1 ~' h$ J另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！