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本帖最后由 九嶷风 于 2023-12-14 11:51 编辑
a c Y$ s. O" [
; `9 i7 o" ^. d8 @) y! V 我们知道DB就是概率的游戏,也正是一些奇特的DB结果引起了数学家帕斯卡7 j" g0 g6 {4 `, I
; q2 m) E8 s" Z$ ?# ^8 v: m: R
(Pascal)和大数学家费马(Fermat)的兴趣,他们通过信件交流,提出了一些概率论的9 D! Y) x4 O) W# ]
0 l2 a1 }% e A O原理,从而创立了概率论。今天我们就来介绍几个DB中的概率趣题,告诉我们的道理就是,
: i& W# S! d+ U' }+ x0 p0 R5 e; l" @9 n/ M9 r u4 ?# }
就算打赌,也要精“打”细算。& X: f& j! d+ G' ~
; o, ^0 e/ F7 \% x- S- Z完美的DB
8 `1 s! R& K2 b- |. }9 J
( Z' b$ o+ c1 t: H$ C
5 p- b6 D1 ?: E2 e7 N- H. C9 |8 I3 KNBA球队湖人队和小牛队有一场比赛,两个队都有的忠实粉丝,就叫他们“人族”和“牛族”吧。8 S: i/ A# z/ o$ ~' r
+ E: |. u! z$ b
粉丝当然都觉得自己支持的球队更可能赢球,所以愿意跟你打赌。假设“人族”认为湖人赢的概2 u2 ^0 J+ o7 x3 l5 F
8 F. L3 {( M/ Q: n) e6 c6 }率为 p,“牛族”认为小牛赢的概率为 q ,p 和 q 都应大于50%。接下来就是有趣的部分了,我& ^: V5 K0 K: }9 j4 n) O3 m
. j* i8 K. X j0 ^; ^
们总能很轻易就设计一个方法,分别与“人族”和“牛族”打赌,但不管结果如何,我们都稳赚不赔!
9 u; h0 E; n: B" ~6 R/ g P- _! e. U+ B% b- ~! S8 U, r1 Q
方法是这样的:我们分别与“人族”和“牛族”打一样的赌,如果我们赢了就得到 y 元,输了就失去 x 元,
' X6 a4 |. U4 ]8 q, d% {3 p' v8 V# p" M# R$ t# G
只要 y>x 我们就赚了。而 x 和 y 只需要满足下面两个简单的不等式,“人族“和”牛族“的期望收益为; x6 ]1 {3 N! g+ z' P. n" U
, Z6 w) H w7 o$ M# E7 D4 `正,就会跟我们打赌:; ?+ o& v, ?9 q& O, t- U- z
$ q: X- p! S0 d1 @* up * x - ( 1-p ) * y > 0
! J, q; V3 z0 f# Q( S9 \q * x - ( 1-q ) * y > 04 ? d5 z3 N* U6 ?& h
加上 y>x 的限制,画出的图像就是三条直线所包围的区域,对于里面的任意一点的坐标值(x,y)就5 P1 Z! T, k% N+ r7 `& V3 S; e) x
2 n# O. Y. L! }, n# V: x* n! r, M是一个必胜方案。如果p>q, 解就是下图中的蓝色部分:; A3 ~+ f) T: F! ]- s d% v% |0 a3 J0 T
+ E( c2 A6 F/ }& u
) V6 x' N$ |) `7 p# v! u$ S* k4 ~; _. T, F( B
看来这个问题是完美地解决了,可是还有一个疑点,相信读者很快就能发现它的荒谬所在:不管
3 ]6 I* R$ u/ D6 r0 ^1 X" O3 r0 t* J& N
“人族”还是“牛族”,他们的期望收益都是正的,也就是说,长久地看,他们都会赚钱,而我们又
, ~6 G+ _7 }. X# Y ^2 w7 b8 T% p3 K( B! A/ d
是稳赚不亏的,那么多出来的钱是哪里来的呢,怎么可能每个人都赚钱呢?. B) z l M2 F9 M3 P
! a* x3 c$ I7 W: l0 e+ u
9 u9 n5 ~, v5 k6 s3 i* r6 O u
三张卡片的骗局. d! O0 f5 ^) R. ?) Q. n
4 ^. b- n% k! b) A/ G$ [
0 X1 b; w7 `8 L0 J6 F, C7 b这是另一个巧妙的赌局,我们先准备有三张卡片,1号卡片正反面都是黑色,2号卡片正反面都是
2 y* _! L( u* [
1 \4 s- j: N# u: z红色,3号卡片一面是黑色,一面是红色。然后把卡片放进一个盒子里,摇一摇,让对手抽一张平2 }+ B' i L! e$ x5 M, `, e& g
9 ^, k& G% R% P8 S6 Y4 l# g& @ `
放在桌子上。接着和他赌反面的颜色和正面一样。这个赌局看起来是公平的,比如抽到一张表面4 U6 a& W3 Y% X+ [4 U
9 u e. x0 `) s7 t5 q. ~
是黑色的卡片,那么卡片不是1号就是3号,反面的颜色不是黑色就是红色,直觉上概率各占1/2。
( C: Z" |4 b4 E
% `& @. q4 o+ r: t( z O2 E; p事实上我们赢的概率不是1/2,而是2/3,这个赌局最迷惑人的地方是卡片的“两面性”。玩家抽的不
# L- i( f; a* s3 n8 }3 I; Q1 D5 p0 J0 Z/ J) N
是3张牌,而是6个面:3个黑面,3个红面。我们把这6个面编上号A、B、C、D、E、F:
1 _6 ^1 _; }$ {5 x) z# b
! z8 U, ~+ c8 n) @9 o. }) d
, Q/ Z# V" K n) ^' }. }
. L! k% q+ X! P
* U' ?& U* P, y% k0 ?7 f$ @# m" b! b1 r9 x1 G
当玩家抽到黑面时,也就是A、C、D三种等可能的情况,它们的背面则分别是D、F、A,黑色+ n5 m4 S( b: m& b
+ |0 V3 V, c8 n: ^1 z的情形占了2/3。
! P$ [! r3 m. Q. s. J$ i7 R3 J: f2 H7 p% z$ M
这个问题最早于1889年由法国数学家伯特纳(Joseph Louis François Bertrand)提出,因为这& [1 z: e+ w. {4 ]/ e+ O: A! R
. T, f: w7 ]5 c7 y& m# |
个问题的结果出人意料,它又被称为“伯特纳箱悖论(Bertrand's box paradox)”。1950年美国3 a" P" c3 h) z9 [6 \
7 i9 W0 u0 Y8 P/ p数学家沃伦•韦弗(Warren Weaver)介绍了上面的卡片玩法,马丁•加德纳(Martin Gardner)& ~) W# A! G5 R6 F
2 }6 f2 w: E* c \
称之为“三张卡片的骗局(three-card swindle)”。6 `" Y0 R9 Q3 @5 j
. `+ S6 S$ H) b0 Z. B* Z+ `如此不平凡的黑桃A
6 ~: }/ y; a! ~* m/ D+ Z+ V; b+ p" I8 F( N- O/ `
有时候我们DB一开始会放水,先让别人赚些小钱,放长线钓大鱼,最后来个一网打尽。下面
2 q b0 w: y+ y+ G! `1 E4 ^/ C7 p! x9 G5 x
就是一个绝佳的范例。四个人在打桥牌,我先说:“来打个赌吧,我现在有一张A,你们猜猜我' u9 n9 X" b% G5 i. _
r1 [6 _3 i# V" A# u e+ [) {
还有没有更多A?”这种情况下你很可能会输,这时你在心里默默指定一个花色的A,比如说黑桃A,
, B# `8 K( D4 p9 b& q t3 |
6 X9 Z' A. y; I5 U8 P/ h当某一轮抓到一张黑桃A后,这时机会就来了:“再打一个赌吧,我现在有一张黑桃A,你们猜猜我
8 a# u% l' e7 q; b0 w; S
4 e L! ?. W' {7 e; [还有没有更多的A?”
; Q0 U- W4 `8 ^, f+ T- v q' E& n: k) x" ~' J
很多人肯定觉得两个赌根本没什么不同的嘛,加了个黑桃并不要紧。可它们间的区别,大到令人
0 J3 }% Z9 q# R; N4 y! V" d1 a
+ \+ U, o) K) w2 ]不敢相信。我们就先算算第一次赌的概率吧:( A5 W" e$ q3 d) h& J
7 ~; U$ J/ I. ]! \7 ]没有A的情形:C(48,13)
! H% k0 Z1 {! K. o* Y0 j9 b, P/ z7 q7 R
至少有1张A的情形:C(52,13)-C(48,13)' o# P' Q/ w, P) O; ~: [8 a
2 d, x" Z8 R5 {$ g恰好有1张A的情形:4*C(48,12)
; O' R. K, P% ^5 P" V. N* g- t$ m9 x- C9 v. g4 j
至少有2张A的情形:C(52,13)-C(48,13)-4*C(48,12)
* c9 L! a j3 g2 U: L! U1 F
[! e7 y# Z! ^6 C$ X: Q事件X为至少有两张A,事件Y为至少有一张A,那么条件概率为:( s$ J- a. c) e' ~+ D# m5 U" u! w
5 ]+ \9 \; F: z; F8 ZP(X|Y)=P(XY)/P(Y)=(C(52,13)-C(48,13)-4*C(48,12))/
0 f. Y4 t/ Y4 |9 \4 a/ C" A(C(52,13)-C(48,13))≈37%. G8 a' |, K+ d$ ^* L: o
7 x' _2 p& K3 A! @- Z这个时候我要赌自己还有A,比较容易输掉。但是有了第一个赌的铺垫之后,大家
& u5 q9 s. Y4 L8 O) a5 D/ {& Z) Q5 c打赌的意愿都被调动起来了,一看第二个赌不就是换了身衣服嘛,纷纷加大赌注,
( \- D8 B. W/ R5 N% e& \' k
( e& ^' s0 o7 F& F0 n接着赌我没有更多A,正中我们下怀。下面我们将发现第二个赌的概率已经大大不同:
9 X! g3 s% d2 L$ i' O) a6 ^8 `& n, u% C( E
有黑桃A的情形:C(51,12)6 W7 C$ Q" J. e0 G
( E9 N+ R4 | N) D没有其它A的情形:C(48,12)* k% |( ~/ p9 D. ? i+ _% e! C
4 H9 H9 m, M' q- M3 f还有其它A的情形:C(51,12)-C(48,12)
9 D. t6 L Y, D9 N7 J( y( E4 _( p4 O1 @: _$ P1 n3 X
事件X为还有其它A,事件Y为有黑桃A,条件概率为:
9 R. Z" v9 V1 T: t) s3 Y2 g! \& B: Z& }* I
P(X|Y)=P(XY)/P(Y)=(C(51,12)-C(48,12))/C(51,12)≈56%。: n- |7 R# V/ J& J4 |! S$ y
) A0 O+ D$ J( d掌握了概率论,DB就只是概率游戏了,当然我们是反对欺骗的,以上各种游戏只建议
/ b* d! t5 {; p: y# n( F! `
3 c+ \8 L8 W3 J( L( x1 W在朋友间进行以活跃气氛。还有一点很关键,打赌的时候,演得逼真点,别让他们知道
! N0 C# `/ G1 L* v( p0 d1 {* Z& Y& q
& g1 t. n! \2 x) o) y0 C你是传说中的死理性派!1 o9 U, ^9 e6 Y. O d% ]0 o$ u
9 J2 ^' D: I' [; j/ l2 K, g9 D9 I0 g
- M; t2 ]2 f4 e5 ?; F
. D1 t$ u$ y/ h7 k% p0 C( |6 i
6 p3 ?- \5 W7 S- {+ V3 n
6 Z* h% { \+ _& @: j7 a- R' y3 g$ ?% R2 f" ?* A
+ C% x) C; {* l3 a# z" A" G$ m
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