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本帖最后由 九嶷风 于 2023-12-14 11:51 编辑 # b6 M% ~ M" X: c
/ f0 d- c% s" U4 a' r1 u
我们知道DB就是概率的游戏,也正是一些奇特的DB结果引起了数学家帕斯卡 r. Z+ a% D( ?$ G8 B- T
! y$ d& f, x7 J- ^(Pascal)和大数学家费马(Fermat)的兴趣,他们通过信件交流,提出了一些概率论的
! x R6 ?! e" D0 ]( P7 a9 W5 z! g7 D! t0 E' }
原理,从而创立了概率论。今天我们就来介绍几个DB中的概率趣题,告诉我们的道理就是,
2 ~/ M, r! _, L4 r* `! t. a+ U: l2 t) L! [3 R' e
就算打赌,也要精“打”细算。
) t- R/ j3 w4 t6 D
2 o( A2 A4 D" B8 T% m完美的DB9 }. m; \9 u/ B' D' T
) X9 t- T) o; R# Z( u0 c# }6 q0 M/ W+ D% o# ^. K
NBA球队湖人队和小牛队有一场比赛,两个队都有的忠实粉丝,就叫他们“人族”和“牛族”吧。. I2 D; p: B; `2 d. t! m, o
6 G1 @6 t- f$ ?5 P9 T9 `$ A粉丝当然都觉得自己支持的球队更可能赢球,所以愿意跟你打赌。假设“人族”认为湖人赢的概
( g# x4 F0 u e6 G& ~- Q. L6 s- Q4 V) {$ |, e% U3 e
率为 p,“牛族”认为小牛赢的概率为 q ,p 和 q 都应大于50%。接下来就是有趣的部分了,我 z/ T: R, N H9 ~
- J" p, J' v* _+ ?& Q
们总能很轻易就设计一个方法,分别与“人族”和“牛族”打赌,但不管结果如何,我们都稳赚不赔!4 b* S) X& t* |: J# w- E; H' F% ]6 T
) l+ @* L3 P _8 A3 b' R9 O7 |方法是这样的:我们分别与“人族”和“牛族”打一样的赌,如果我们赢了就得到 y 元,输了就失去 x 元,) e. k5 G; v' Y& n, w5 g/ R, T5 c
' ^+ c( X$ _4 k9 ^ G" e8 R
只要 y>x 我们就赚了。而 x 和 y 只需要满足下面两个简单的不等式,“人族“和”牛族“的期望收益为2 U4 X' p1 n* F+ d1 \5 ]- B# F
. z% S: @9 t6 L s正,就会跟我们打赌:
: u& e9 Z$ |. s) K4 M% a0 N6 h& e3 M" w3 X/ h
p * x - ( 1-p ) * y > 0) E+ P1 R; l" o, `+ F
q * x - ( 1-q ) * y > 0
3 C; z6 a/ M# ]8 h8 j3 `9 v# `加上 y>x 的限制,画出的图像就是三条直线所包围的区域,对于里面的任意一点的坐标值(x,y)就
6 I2 h) V5 j# w& t
/ d- k7 [! S; p是一个必胜方案。如果p>q, 解就是下图中的蓝色部分:
; k6 h) J; O [# H7 T& j7 P& `8 N, ^& S% ~$ w. J& G& t( r
: y0 h1 E" R# _7 Q
3 U8 P, ?8 L% Y) j2 D' X
看来这个问题是完美地解决了,可是还有一个疑点,相信读者很快就能发现它的荒谬所在:不管
) r$ _ l- G. a9 f8 I
$ _$ L9 ?$ x1 R7 ? X“人族”还是“牛族”,他们的期望收益都是正的,也就是说,长久地看,他们都会赚钱,而我们又
/ R+ h$ w4 ?$ [) E; f' G( `' o0 w4 i' f5 A! F1 \
是稳赚不亏的,那么多出来的钱是哪里来的呢,怎么可能每个人都赚钱呢?
5 |+ q& x/ r% V+ x$ p2 E
! V' t3 g* Q! T! H3 O6 ~6 y; H
+ g1 |$ e2 M+ b. I三张卡片的骗局
2 N- W9 H4 t- u8 H
# E* `+ D7 t9 J/ E- [. d& ^/ K/ W3 k5 S# W$ ?! A7 K# M6 B* y
这是另一个巧妙的赌局,我们先准备有三张卡片,1号卡片正反面都是黑色,2号卡片正反面都是: K; D, r7 Z: g( h" i" p( O0 J
5 G5 v4 ~6 ?" n/ m; ?5 b
红色,3号卡片一面是黑色,一面是红色。然后把卡片放进一个盒子里,摇一摇,让对手抽一张平
2 V! @* i2 c @$ E9 T0 b& ]
' e$ {8 w8 s, ]3 U# P& I放在桌子上。接着和他赌反面的颜色和正面一样。这个赌局看起来是公平的,比如抽到一张表面
0 I x/ ]+ k. h. }
% n8 g$ W+ F; R3 f" j7 J$ N是黑色的卡片,那么卡片不是1号就是3号,反面的颜色不是黑色就是红色,直觉上概率各占1/2。
: Y& H' E+ l* a+ ~/ M8 A
- n, V7 u7 H) K7 Q事实上我们赢的概率不是1/2,而是2/3,这个赌局最迷惑人的地方是卡片的“两面性”。玩家抽的不
8 ?6 \7 B( }0 w
9 ?/ x( P. m$ C是3张牌,而是6个面:3个黑面,3个红面。我们把这6个面编上号A、B、C、D、E、F:6 a, \3 U2 v+ s5 A
+ Q% r8 l E ]" P% [/ G- `
" M, V/ J7 h! \- z! [5 I$ }: L. W) Q! l0 I
3 C4 E7 G9 @9 \! ^' j3 g2 i9 y$ o" z2 r3 z% _% @
当玩家抽到黑面时,也就是A、C、D三种等可能的情况,它们的背面则分别是D、F、A,黑色+ v3 }( }$ F3 O, m9 _
/ z5 `- X8 a: |: U" e) U的情形占了2/3。( H0 k( }2 H. { A, D7 i2 ^$ ^% A+ e/ x
) O2 x, b6 J2 X- `; k5 ^, g这个问题最早于1889年由法国数学家伯特纳(Joseph Louis François Bertrand)提出,因为这
" H0 ~2 S5 p- @* [! `4 d
, L2 h" {8 \2 m- \! }个问题的结果出人意料,它又被称为“伯特纳箱悖论(Bertrand's box paradox)”。1950年美国) o4 a5 p. y4 u( Y3 }7 D
* [" x3 X# g8 I& Q5 ?9 A. E数学家沃伦•韦弗(Warren Weaver)介绍了上面的卡片玩法,马丁•加德纳(Martin Gardner)& V8 b& ~" H8 q! h6 j+ V' X* G
' u" `! g. J* U( M2 q/ f
称之为“三张卡片的骗局(three-card swindle)”。
& _: }7 R& G8 L" ` o, P0 U8 _- G$ j+ o
如此不平凡的黑桃A" R$ o0 |+ K. ~+ b) M
' h4 g; Z0 l9 I* p {" f0 O有时候我们DB一开始会放水,先让别人赚些小钱,放长线钓大鱼,最后来个一网打尽。下面 V* m8 P, K3 n
0 C& D# V1 \- e5 a
就是一个绝佳的范例。四个人在打桥牌,我先说:“来打个赌吧,我现在有一张A,你们猜猜我) M; y( l( U. Q8 ^
. `- s- `' e4 n! F5 |3 T还有没有更多A?”这种情况下你很可能会输,这时你在心里默默指定一个花色的A,比如说黑桃A,5 s8 Y% k5 r9 ?+ l L, a
0 h4 M& U2 o' c; M当某一轮抓到一张黑桃A后,这时机会就来了:“再打一个赌吧,我现在有一张黑桃A,你们猜猜我
! a( Q" H6 `2 @7 q! \# r" Z3 D# T
# U3 B; _0 t2 r. M还有没有更多的A?”- V, A+ g* V" K
3 b3 Y) i; `% K6 Y5 L6 ~
很多人肯定觉得两个赌根本没什么不同的嘛,加了个黑桃并不要紧。可它们间的区别,大到令人
2 P# l' J' G# p: G* ^
5 _! |# b' n& r U+ C不敢相信。我们就先算算第一次赌的概率吧:$ N/ k# O' M% x
/ P# J: d8 s I' ^6 U
没有A的情形:C(48,13)
! y+ X) t1 F. c& c o5 M1 `: s0 F
至少有1张A的情形:C(52,13)-C(48,13)4 _" V. I/ B1 e9 O+ _
% u! \. T+ y2 h9 _; S9 C
恰好有1张A的情形:4*C(48,12)4 l/ a* H0 Z; ~% y
4 V$ ?; J: _8 p
至少有2张A的情形:C(52,13)-C(48,13)-4*C(48,12)
! l8 u# `2 o" A6 z1 d* J$ _6 a0 i/ F x- ^* Z7 H9 G! ?: [
事件X为至少有两张A,事件Y为至少有一张A,那么条件概率为:
9 I* f! }) t8 }, v6 P! X: e+ i8 u7 U3 q6 T2 B( q" h2 E a* g
P(X|Y)=P(XY)/P(Y)=(C(52,13)-C(48,13)-4*C(48,12))/. O8 G( A4 v1 d, I) B
(C(52,13)-C(48,13))≈37%
' G1 j1 u( c7 ]3 Z( |
5 z+ p" s8 m3 t/ j这个时候我要赌自己还有A,比较容易输掉。但是有了第一个赌的铺垫之后,大家
+ E7 |+ y1 O& }6 V, j( g/ b打赌的意愿都被调动起来了,一看第二个赌不就是换了身衣服嘛,纷纷加大赌注,7 G. q0 U( r$ j& T
^# W5 G0 Q' o6 ~5 o
接着赌我没有更多A,正中我们下怀。下面我们将发现第二个赌的概率已经大大不同:
! u" A! V! x, ]# X/ U& @( q: q, I0 |4 l- F9 I% h- d. }4 y
有黑桃A的情形:C(51,12)
. U, w6 {/ J* R9 s; k
% M1 h; ]6 x1 V# L; B: }没有其它A的情形:C(48,12)
( X2 V5 ^( g+ m4 b7 F3 |+ a9 E0 A1 H) _' P6 R {6 q
还有其它A的情形:C(51,12)-C(48,12)0 C1 U" O6 C u4 @7 [" J3 C
. j7 o1 n: q* w
事件X为还有其它A,事件Y为有黑桃A,条件概率为:
4 e: {; t) W( C# _" Y
9 e/ K+ D h1 H4 B: WP(X|Y)=P(XY)/P(Y)=(C(51,12)-C(48,12))/C(51,12)≈56%。
+ d u" h1 h4 b, w: d8 d/ F9 z7 h0 u) h9 S, [- F& q. |1 v9 \: }
掌握了概率论,DB就只是概率游戏了,当然我们是反对欺骗的,以上各种游戏只建议/ g B$ j3 }8 E1 S: u9 ^/ j+ o
$ N1 @& z# K- s: Q' P: \6 E' a在朋友间进行以活跃气氛。还有一点很关键,打赌的时候,演得逼真点,别让他们知道
+ ?- J1 }3 x6 q+ P& B: ~+ C p( |
8 L% G: O" Y4 g. {2 h4 W你是传说中的死理性派! `* b5 }; R- P
: r9 w- D8 x3 I, l
! f. a( W$ A4 \0 {
7 `# y( a- n# S& n. ^: v J
' ^( A6 _$ H# C! n" e
8 i7 R8 J2 {- \4 u8 x
` E) H2 z8 C: U- }' ^- E- e' R4 v9 E# h
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