随机赛程的最佳策略

引言
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! p  {  i' t6 A, m5 T- Q在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。

问题

9 x, c; p$ q$ ?; I7 a2 v* ^/ L
- Y4 f* J* z8 Z( C8 c6 r有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？

当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。
1 l4 j0 R* m+ I4 e" ]. Y3 ~) [7 x
本文


4 r0 z/ U7 K& `4 I( [4 u. `问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。

1 s8 Q& q9 p( x6 @' |为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。


方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
: R" E/ W: w" I) u3 u方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
8 [2 o2 Z' ~  h9 o/ W5 _你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。
$ n6 |% y; \" d9 T+ K3 b$ r# J
首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。

++,
+-++,-+++,
+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
                                                                                                。
在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为

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1 [  {* J' P. b: f( B2 g8 H# S

7 y. ^" z% e7 h  _) B0 T0 Z* z
9 o1 |' [- x$ T8 @( l, p  x+ f' u( p

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! n  S5 z6 l- e5 l" f# P7 X3 n现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。

' y% v/ T/ q+ u" e* v++,+-+,
-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
1 q5 ^4 D0 D+ p/ M" Z6 }-+-+++,-+-++-+,
                                 
5 w6 G; N  Y+ D6 C, ,
" K& \& w- \9 D' k& Z                                                                                。
2 J' `2 x" ]( q8 Z: G! }$ l0 L4 t
  A4 C! [2 `2 V; T仿上之计算，可得此时甲赢的机率为
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! V8 X; W$ X8 H% `$ ?1 K$ m1 B
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6 a5 Y: P3 M7 a2 Y8 [) G" Z* M& d
最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。
% {$ j! T: A* Y1 }& N, C/ x
现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。

这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？
; J! ~: y6 U5 a
现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。
" z. @2 D- p3 T$ P0 h$ }; A
; E5 Z3 s" R8 z0 k, n  h
8 z  P& y! n' s% x% s情况一：  
此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。
( A6 m6 L9 K0 @. h
情况二：  
/ u5 o: @9 S7 \此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。

情况三：
此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。

7 R$ X! R& {. g3 C; r现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。
9 ~1 i8 S' n/ @& d2 c. W
" L) t7 ?6 C- }由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。
) l7 V/ |0 O# U' K0 x  ^
如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。


$ G9 v. a, s2 M  ~情况一：  
& e( F; A; Z' o假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此

6 E* r  k, l! `' {

2 ~/ I0 F/ Z8 ^: k: Z
( U4 Y; A# Z! l8 x  P
' K, u' ]$ \+ z/ |7 l( P9 t
这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。

2 O7 q4 c1 x6 [4 o; N6 W  w情况二：  
令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式
+ _, x2 D/ O( L* i3 ~- E* x; X
" u' j) k" }3 O/ O! A9 ]) L+ g  _  F
* _2 ]% b7 t! ^

# j6 [* r/ _; n* ?
: n/ y, E% `( M4 c
. w; |3 \& u/ B; o这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
利用p+q=1，上组方程式可改写为


9 T2 x; Y5 E5 F- Z% ?



2 Y! X4 @5 W+ a9 F. X& D3 l$ l两边相加，并利用 、，得

4 _. [* F% |/ o3 I6 F4 U$ [' `" f
' G( b2 T- C9 ^) z

( e4 Y! k1 I# V# S( g" r) _

( R8 A- F) @" n若取前 c 项相加，则得
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情况三：  
仿二之解法，可求得
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* G; X6 A: Q8 F2 _
, u& Q' F- j6 k+ I. A; p. l
" U' K! N1 F/ w. w保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。
8 C7 U4 J) }' f
2 A% p: @' Y2 J8 o, U首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。
# r6 v$ I7 \7 H" M4 o
3 m7 C$ p& P( g+ Y( ^( p2 _& b7 J
定理：
$ l0 ^/ J9 J3 P5 {设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
3 P. q& \+ {% t. ^此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。

现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。

首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。
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; e4 X9 q: `- J2 d8 U至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则



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1 d, d1 r8 m3 G$ p2 t) ^' {- x
7 T6 m" f* I1 T$ R* V+ N
7 n2 E+ c1 ~; w5 {; `7 r
其中  为所下注之金额。利用



6 f# x1 h+ @6 j- z

* p* Q8 A" E" g/ @: @7 t


可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但
1 Z+ r" R/ s/ g6 a) h8 R+ _

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/ U1 q4 c0 O" `. q' [3 ^因此可得在情况二， 时，

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8 b6 H# Y: Y* z8 Y# Q# V
1 j* o8 q8 R0 K- Z9 V$ |
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而在情况三， 时，
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0 c! C7 K1 f) j- |8 J( ]但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。

至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。

& k) d% R! g4 f9 }* x6 U0 K附录
) [6 [: U& U3 H  m4 d# A" B

: W7 t1 L& z; s( k8 s在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为



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- m! B! a2 f" I/ h% }/ @另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！