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引言
5 _8 S' p2 x& P- @( w, H
% O! ]! D6 m+ n  R8 p' H! U在日常生活中的许多场合,像生意的投资、决策的推行等,我们往往无法事先确知其结果,但对其成败的机会,则往往可事先估计出。这种成败的机会,也即是我们通常所说的事情成败的机率,然而使事情成功的方法不一,所以如何选用一个方法,使其成功的机率最大,是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便,作者特考虑下面的数学模型,实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的,不单是提出一个结果供读者参考,而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法,让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。 : n5 E3 w& U4 E' i  Z- @  E) C2 \

& O- Q+ U, e* g! e, {问题   w0 X+ p9 z) l; t- I0 B% G: W
/ L) I: A3 L7 ?( Y

2 c/ U3 A1 K  k" F, a1 e有某甲持 c 元,拟与持 m 元的庄家赛局,并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中,某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽,整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注,才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢? ; V/ U8 s$ C/ W9 ~0 a- E

6 I8 m% Y* n; t* p9 ^7 L. G1 R当然,我们假设下注的金额是合理的,比如说若某甲现已有 8 元,而庄家只有 2 元时,那么某甲最多只能下注2元。
+ B4 K  l( a! l/ [+ o* [" L8 D8 z) n* ]2 q, S3 [2 F/ Q
本文 & j& b  u- J. h  }5 Z
3 q: d1 r) J; p/ U4 s

, d) n/ @7 ?: u问题的叙述虽很简单,但细思之下,却发现其并不很简单。这道理不难明白,因为可下注的方法实在太多了,要一一比较是不可能的。 ) H) o+ [  y" R/ m

- W+ s  I. k3 P- d' v6 O为了要克服上面所说的困难,数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法,这些方法所以较常採用,泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然,直觉的认定往往是不可靠的,所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法,并比较其优劣。
. ]$ Q; W4 l3 ^0 B1 ?
) J4 }; ~1 M) c  M3 U) |
) _& u+ }3 Y4 F3 C方法一、每次甲均下赌注 1 元。(显然,这样的下注法最保守,我们称之为保守型下注法。) - `2 e" l! ~$ T
方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了,则下次仍下 1 元;若输了,则将赌注加倍,依此类推。换言之,往后只要一赢,他就下 1 元,否则就把下注金额加倍。当然,我们假设所下金额是合理的。(显然持这种下法的理由是因为只要一赢,那么非但所有输的金额即全捞回来,并且反多赢 1 元,我们姑且称之为输不起型下注法。) 8 O2 f6 X! e7 `  b* D& m
方法三、只要许可,甲就将所有赌本下注,因此只要一轮,某甲就血本无归。(显然这种方法是最大胆的,我们就称之为极端型下注法。) ' x, R0 O  M( Y0 _5 `- \
你会採用哪种方法呢?能说个道理出来吗?事实上,答案并不简单,它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关,也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计,我们以「+」表甲赢,以「-」表甲输,并以+、-所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。 + C; A6 ]4 k8 ^
4 e& |- H( z  n) ?$ Q
首先我们考虑保守型下注法,此时只有在下列诸场合,甲才会赢(即庄家赌本输光)。
) \8 A: ~/ g1 z$ j4 m; t5 r, d4 S1 }" ?/ S) o
++,
& N  X# R% D  c% T( V$ z/ p# \+-++,-+++,
" H- d7 Y7 G$ O" N+ z& E+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
4 U9 W" g9 v  ~( q; _                                                                                                。
( i2 Z' T% a3 Z9 t: L7 E% |- h8 ?! ~在第一列 ++ 中,甲连赢两次,此次机率为 。在第二列中,甲赢了三次,输了一次,并且有两种可能性,所以其机率为 (q 为输的机率,故 p+q=1)。依此推导可得在第 n 列中,甲赢了 n+1 次,而输了 n-1 次,并且有 2n-1 种可能性,所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中,甲赢的机率为 % I* @0 D8 }$ Q' l" G: L
, t& d* ]4 r# J. H) Z/ [+ R: U

6 S+ t" j! G; N
9 \2 _% K! G' O/ u
/ r! }2 i. q  y' ]3 k) T$ l: Q9 u! K" S# F

! _( N. E9 g3 P! K3 T2 Z& d8 Q- q# I0 M# p; h
4 u$ _( q$ z6 n4 L6 J3 F

0 ]3 }6 S; d4 J" M8 L% l# V. g& P2 {2 S! x  B
现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合,甲才会赢。
5 V1 y9 \) F- D; \5 C4 k- A/ y- N- @3 l" `6 V' p/ F5 J
++,+-+,
) J8 b  H* ~& z-+++,-++-+,(注意:甲第二次仅能下注 1 元)
( B6 l* N) W% i/ S; t/ U6 d-+-+++,-+-++-+, 0 {  }. l, Q9 E  x" O' |
                                 
8 I+ l% y, }3 @4 Z0 c" N8 ^2 x, ,
$ Q- U' K8 F. D6 M3 ?                                                                                。
( f$ n% P4 K& S: W  W) ^6 I3 s, n( N. c7 E! m* x0 J9 [7 z; s5 ~
仿上之计算,可得此时甲赢的机率为
) P8 {8 e- k9 O$ }6 J% o! c( r  M* h0 U

& i; ?5 s" a! j
7 Y% m+ t: e7 N2 W) U3 u& u5 X& [9 m" H; g1 h9 W) Z- k, q* P

+ Y1 x0 L4 u" y2 H3 _* a) x+ y
: J- I1 _9 m6 N
! L9 e, `  ^# w
: x, a+ a& _+ ?最后设某甲採极端法,则甲第一次即下注2元,因此一次就决定了输赢,所以甲赢的机率为 p 。
$ |6 Y- f1 s1 J8 x4 _& x6 D0 c
5 Z& i3 j( i- j9 P4 b! D现在我们再回到原问题:究竟在这三种方法中,以那种方法最好?由于相对应赢的机率公式已求得,所以我们只需将 p 值代入,进而比较其大小即可,举例来说,当  时,三者之值皆为 ;而当  时,三者之值依序为 、、;至于当  时,则其值依序为 、、。这些数值告诉我们,当  时,三种下注法没影响甲赢的机会;当  时,则以保守法较好;当  时,却以极端法最佳,保守法最差。
5 {) X( I- Q$ R3 Z* q* O& Y& h! l8 j4 D. U1 G9 y# V: Y+ q+ e
这些结论,是不是有些出你意料呢?其实问题还没全部解决,迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好?还有,我们仅就特例来考虑,在一般的情形下,答案又是怎样呢?
& p6 b" v) b" ~
# U2 X& W7 B; H8 a现在,先把最一般性的结果写在下面,其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。 % ^( c: G3 Y/ u1 |* R

7 c" G3 \( M1 c% i0 Y) J  g% P5 y. }8 r; H% K: ~
情况一:  
/ z+ D1 K0 ~) y) l! c/ I此时不论甲如何下注, 恒等于 c/(m+c)。
9 I$ K7 Z7 M. t6 K& r5 i' x2 B/ P: D7 r$ c1 K2 f' o
情况二:  
4 j, w( \, i0 s& L2 b9 [+ W此时不论甲如何下注, ,而右端为保守型下注法赢的机率。因此,在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面,极端下注法的赢面最低。
8 R6 T# _% I" f! M! H9 x2 ^" `+ s1 c+ ~- {7 |- t. y" F
情况三:
* v0 M# U6 ?. z/ B2 u此时以极端法最佳,保守法最差。同样地,保守型下注法赢的机率为 。 $ w) p+ q5 I9 z
! i( _* k7 E1 O$ R& d% v
现在我们就来研究,为什么会有这个结论!这用到了一些数学工具,不过对其中较复杂的部分,因顾及本文的可读性,笔者只很扼要的叙述一下。 0 U0 Y( j) s& f, D; f2 H+ m
+ ~2 O1 r, K! \
由于在上面的结论里,保守法处于一个居中的地位,所以我们先就此法进行讨论,然后再进一步研究整个问题。 4 ^3 H! y. A; s3 H5 z' l5 i4 V0 s
, I8 a7 G+ X# I. l/ i$ f* h# c$ B
如同以前, 代表当甲所拥有的资本达 i 元时,他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元,所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地,,,而  为我们最早所想求得之机率。
  m) i  E# p- C4 b& ~3 Y- \+ m: M# b9 W: c

9 C) G9 |2 r8 c5 S2 t4 Y情况一:  7 V* z9 l3 t, E  e4 l/ }% X" w% F
假定某甲现有 i 元,那么有  的机会,他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此 7 n& G; G, a" Q+ }  \/ N! r/ i  K8 j

' u) O! Q7 \- G: Z* V( J  k$ _, _  Z, b: U
, M1 g, x% j& j3 x

5 ?5 [  l: _! f6 S+ k7 z
4 Z+ y$ f1 n% m, ~
- }' ~. {9 }( H( `  d: Z6 J8 W这样的函数 ν,在数学上是一个线性函数,因此解的通式为 。由于,、,得 a=0、 。因此 ,亦即甲的赢面为 c/(m+c)。
7 {$ |  ~4 W' T3 l
2 ~) j0 {8 T  l1 Y! d: `情况二:  
  z: P8 \( [7 r: t令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式 $ _7 d0 s  m1 i  d+ |" e/ Y

7 I; w, U$ r/ b. a. X4 ?( M
5 d7 O5 q3 M7 c5 L7 V- }6 I9 z; F
  c1 D6 ^, j& l+ H
' R' f+ K: t( Y& W2 o0 y/ x$ E8 d
6 m& I5 O2 O. x6 k
/ b- x' N: _6 {4 h: O这样的一组方程式,在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法,但其道理较深。为此之故,我们特採用下面的方法。
" C7 T/ p1 D* _0 I4 f1 [利用p+q=1,上组方程式可改写为
3 C  y) i' Z* M% k$ @9 x1 [1 j% y- L9 M3 |0 r
* U2 G7 _( p2 z: M5 V+ e& h$ b

+ `$ R3 A6 L- B9 x
( K( f# L% F6 G
0 F3 z- s! Z* H7 q; i3 U  G! q3 B
' i* ?1 ^: P& @/ k1 ~" [' F( F* b/ w两边相加,并利用 、,得 9 L5 O, l7 h6 `% d& _
( x0 U' D  O9 l8 |
. m. Q# k" p# C
" g( O4 d4 S: m: O5 N1 x$ _  B  C

7 E8 M; J( Z9 z8 m* F
2 ~$ e% Y5 H, J8 x# l$ c$ q
4 |! [& a3 l6 l, X若取前 c 项相加,则得 # @. ~' f  _# U) s3 u" N6 b
4 m3 ~: X$ [7 @2 r: R4 E

+ }/ l1 d. ]7 p  F( g: Z+ g% N! k* R; I! a2 v

  Z  Q1 [( y4 b' u5 i3 k) u" t+ H) A
. A1 ~" l& O! |/ Q
情况三:  
1 d5 m- B  s. Z" H仿二之解法,可求得
1 @5 J$ |0 H5 x7 O- L5 Q5 f" o" w- C% M& k( |
) o% u# r/ q( s6 o

- g% i  v9 H7 D6 R" L" _( H7 J- y, T4 u8 L
. N! Z+ f: N+ _2 d- e8 B4 G# U" r" p5 p

* d6 a6 G$ U2 N& [% @$ v8 O
( ]- |& c) f  V1 L6 a  G保守法的  已求得,现在我们来研究为什么在情况二时,以保守下注法的  为最大;而在情况三时,反以保守下注法的  为最小;同时另一方面,在情况二时,则无论何种下注法, 皆一样。
, ~  q! H7 g; r
3 e# O( s# C+ T/ k5 }首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时,甲所拥有之资本额,因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c,即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间,因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。 % r. [4 Y  m" c$ n

$ U2 K5 k8 \) [/ ~- B, c" u  N7 T5 [- f$ v9 v( V6 U4 `
定理: 4 e* j: I3 |; ?6 v4 v, j1 ~
设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下,f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn),则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」,则结论亦真。
! E0 A. o# a5 w8 o: e此定理在机率学上,即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem),它的证明已超过本刊程度,所以略去不证,但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说,其实是说若你的第 n+1 次赛局,平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值,则当整个赛局结束时,f 的平均值也与原先值一样。另一方面,若在「」的情况,亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值,则当赛局结束时,f 的平均值也曾比原先值为佳。 2 n6 X6 u5 [( \3 Z2 L; Z# r

, R( \  B9 P9 [现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。 1 z# n4 d8 I2 y! S% M7 C

2 @1 Y6 l" {& J# E& V首先,我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn,则不论对何种下注法,因胜负机会均等, ,所以若给定 Sn,则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ,所以知不论以何种方法, 。 7 b) I' y0 I( q  v; m

- e2 {  _2 C! o# j& h至于在情况二或三时,我们取 。此时若给定 Sn,则 ! a' {+ K5 j6 D, c. A

+ X$ A$ L! }( I7 t
) H8 U& U9 V' O! K
7 H& S9 H8 C% j7 h
9 c* {& L. }* I) z4 w: j
3 \. |9 k7 s% U/ i2 d+ @& Z, P. U, X4 b6 M# l% k  `
9 s2 k' }7 a; t9 f$ p

3 b* T& D6 Z# h1 ^" n8 W# w其中  为所下注之金额。利用 5 X/ C( m& c* j$ ^

, s6 G3 q) _4 b
1 |- [& W$ Q5 T* |# R5 G
8 I$ U7 y: c0 P. y# G. D+ H- n0 f) o1 ~( @3 z8 ^
- C2 Q/ ?; X4 g6 l3 _

" M, J  B* y0 G5 b; s9 e
. e8 K+ B0 V+ A7 m
' ?- P9 |: Y6 s  x5 Y& y可得不论以何种下注法下注,若给定 Sn,则 。所以由定理知 。但
* z, `9 F! }! c" K) D% s6 c
- U( O5 R7 Y9 J# \6 K. \. A- r* C1 R* {5 q0 d2 M  L9 p

) E: y5 ?9 F, q  k6 j
# j/ ]% z9 g8 {$ h: U  ]$ k* a0 V8 p$ ~' ^- `4 O) t% ?; U! R

/ _5 E2 }* C5 w/ s7 R
& h& P0 z  P. v& a- x' Z0 P3 _; ~1 j0 j, F1 e: Z
因此可得在情况二, 时,
! @0 t4 @" T" T* u9 |; e
3 [( B* V: V5 r3 k* p/ f6 x  M, L( A$ {# q. t
- i. O$ K( b9 m1 C, u+ T9 E

" E4 `  ?. w7 [1 ]/ {# k. \/ W( `
5 z( J& z: v( f& m0 W% F) @* r2 L( T% f9 P) d6 B5 ?
3 R& F! b2 X: }5 A" J; ^
3 L3 N( O/ s1 z, o3 s. q1 \0 g
而在情况三, 时, 6 @, l0 X/ X* Z" Z3 i+ _( R1 T
3 ]$ n( u* r  `+ {' Y/ C

# I" Q& G7 o5 u( Q) C6 K- J5 n4 G; a  a, r* P
$ C: `# {% k/ i: H! }* W5 e
: \% V5 C* ^0 O1 _
" _( U* Q+ V5 [+ I3 t: M
: P; W* w" G/ X3 R% Q' \3 s
# u/ c) G  J% ]- W2 r+ G) l7 N  U
但  为採用保守下注法时赢的机率,所以知在情况二时,以保守法的  为最大;但在情况三时,却以保守法的  为最小。
7 B9 m8 ?/ E) ?1 {7 |- A
& u! z& N& C: b% r至于为什么在情况二时,以极端法的赢面为最低;但在情况三时,却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论,只好从略了。 3 q, L. b* D0 x( `

5 c2 R& F: d5 Y! ]- j附录 $ o9 T3 a9 i+ M" X( P; o
. v1 ?' Q; |) p$ K: s  T

4 Y% ]% P; R& X( Q1 K# ]在本文中,我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题,比如说,我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T(亦即期望值)。关于这个问题,我们有如下的答案:保守下注法的 T 为最大,其值当  时为 T=cm,当  时为 ' T4 w: H0 s, o6 y: c# l
4 O/ h, y5 H' Z4 d6 y0 ~
3 M+ R' L0 E' H/ {
- B0 d* g" B' d" o
8 x! H/ C8 n5 A; P' m" P
. G& m7 p( R1 _% U+ [$ p2 M- B
% {( g6 X" N) {  f# ~$ A, r
  x( V7 F5 e) ]$ V0 l+ `
0 @, I: j. K. F* J/ O
另一方面,极端下注法的 T 为最小(但无统一公式)。至于其推导过程,与正文中所用的方法类似,只是演算步骤复杂多了,所以从略。
avatar
太长篇了,而且非常的深奥,希望有玩家能看的明白。
avatar
3#
好文章,学习了.
avatar
4#
又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.
avatar
5#
主题回复处广告图案-天策传媒
我也来学习下
avatar
6#
太深奥了!!!!!!!!!!
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