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引言
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: Q& u2 C1 t& n# k在日常生活中的许多场合,像生意的投资、决策的推行等,我们往往无法事先确知其结果,但对其成败的机会,则往往可事先估计出。这种成败的机会,也即是我们通常所说的事情成败的机率,然而使事情成功的方法不一,所以如何选用一个方法,使其成功的机率最大,是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便,作者特考虑下面的数学模型,实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的,不单是提出一个结果供读者参考,而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法,让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。
5 S3 X$ I: t( Q8 D, F; E2 ~" M, D( T" X# i# w
问题
8 i: _, Z* I& e# [: g, T- k' g1 p- K6 p
. n7 ?5 J. R# Y( e" w0 ]$ V
有某甲持 c 元,拟与持 m 元的庄家赛局,并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中,某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽,整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注,才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢? : ?7 ?3 a. |4 t; t* F6 t: k! T
: h4 r* {( e3 e. H: F, M! s) D$ V6 q
当然,我们假设下注的金额是合理的,比如说若某甲现已有 8 元,而庄家只有 2 元时,那么某甲最多只能下注2元。 . m5 H- a5 C5 f& h

" T, L0 D, g: T4 _& k本文 & x1 X5 l' q9 o+ r3 `3 C! N
: Z) B" |& s1 V" j$ u

* [) y/ b) n6 }4 A问题的叙述虽很简单,但细思之下,却发现其并不很简单。这道理不难明白,因为可下注的方法实在太多了,要一一比较是不可能的。
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8 r- I( _- u; y9 s: w9 o为了要克服上面所说的困难,数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法,这些方法所以较常採用,泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然,直觉的认定往往是不可靠的,所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法,并比较其优劣。 ! R& u  M! F0 K* m6 N5 ~

+ k2 @1 J+ d0 C  s6 f) }  l# V
% m" [" F: P" A& G5 h1 V. S+ w& V" ^方法一、每次甲均下赌注 1 元。(显然,这样的下注法最保守,我们称之为保守型下注法。) 6 _- W8 ]3 D% c3 t* h
方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了,则下次仍下 1 元;若输了,则将赌注加倍,依此类推。换言之,往后只要一赢,他就下 1 元,否则就把下注金额加倍。当然,我们假设所下金额是合理的。(显然持这种下法的理由是因为只要一赢,那么非但所有输的金额即全捞回来,并且反多赢 1 元,我们姑且称之为输不起型下注法。) , u" l! X4 o% h
方法三、只要许可,甲就将所有赌本下注,因此只要一轮,某甲就血本无归。(显然这种方法是最大胆的,我们就称之为极端型下注法。)
' L9 E' Y: N( {* T5 V  T你会採用哪种方法呢?能说个道理出来吗?事实上,答案并不简单,它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关,也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计,我们以「+」表甲赢,以「-」表甲输,并以+、-所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。 & e+ B' P7 z/ b+ L& Q

; k; D; ^5 A( V3 l- @$ Y首先我们考虑保守型下注法,此时只有在下列诸场合,甲才会赢(即庄家赌本输光)。 / f) y3 j- K* w7 n# {! q& C
( W5 q0 a* n  B+ P! S
++, 3 u% x- {, {! |
+-++,-+++,
- j4 T# o4 {' |6 m  _+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++, 1 i* s  L3 p( b9 N1 S* I; P$ a
                                                                                                。
' P1 i0 P. K# l7 x: V  R在第一列 ++ 中,甲连赢两次,此次机率为 。在第二列中,甲赢了三次,输了一次,并且有两种可能性,所以其机率为 (q 为输的机率,故 p+q=1)。依此推导可得在第 n 列中,甲赢了 n+1 次,而输了 n-1 次,并且有 2n-1 种可能性,所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中,甲赢的机率为 & C. b" Z- l8 j$ M; b
  X3 X) n* x1 G! Q$ {7 L: |
9 p8 C; I7 I, q0 c
  G  ]6 n8 |& f" [2 g
1 B; K/ q$ C  S( R3 Z8 _

& E% S* s% v% S# n
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6 a7 Z! }: G* w/ i/ C! q
' ~- @# [; r( U, @& F

. q. d* u4 S/ u6 N6 O; m, |2 D1 q& \现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合,甲才会赢。
0 ^* U+ z$ _9 u1 t7 L" n+ k8 }: x0 Q8 d2 g6 }3 H0 Z
++,+-+,
. r& b9 d+ ?% ^: ^8 N) o-+++,-++-+,(注意:甲第二次仅能下注 1 元)
2 Q; o  x% @9 U% G* [4 v: t-+-+++,-+-++-+,
; Q/ z' p7 ^4 f4 {& M' y# p                                 * G  L/ ^4 i4 S0 g8 j
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$ [* c; H3 u. ?7 c4 X5 c$ `# `                                                                                。 + w& l4 ]" D% z

7 j& ]$ u! c; x4 C7 ^6 R0 o1 B2 q- j仿上之计算,可得此时甲赢的机率为 - n' N: W0 d! m' F" O3 U
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3 V  o8 H3 i6 M' A3 y9 {

0 E5 C  z: R1 t- m5 w7 Z! z* G& T' V2 F: h) p7 O

4 q+ |; N6 D* z9 T
  S4 L; w' a3 B, S$ j' i
/ T- S. _; p* `3 t  i' q
, V0 H* w2 ^3 t7 c) G1 I2 F最后设某甲採极端法,则甲第一次即下注2元,因此一次就决定了输赢,所以甲赢的机率为 p 。
) n/ X4 \! b$ t" l. a6 Z9 I2 D: [1 v1 S2 e4 r: p
现在我们再回到原问题:究竟在这三种方法中,以那种方法最好?由于相对应赢的机率公式已求得,所以我们只需将 p 值代入,进而比较其大小即可,举例来说,当  时,三者之值皆为 ;而当  时,三者之值依序为 、、;至于当  时,则其值依序为 、、。这些数值告诉我们,当  时,三种下注法没影响甲赢的机会;当  时,则以保守法较好;当  时,却以极端法最佳,保守法最差。
8 J& P7 c) x4 s$ ~! L
! K1 b9 [6 Q+ K7 D这些结论,是不是有些出你意料呢?其实问题还没全部解决,迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好?还有,我们仅就特例来考虑,在一般的情形下,答案又是怎样呢?
3 f: c, P4 `& h7 W5 R, y! v$ R" I" w0 n
现在,先把最一般性的结果写在下面,其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。
  v! Y; B" I1 f" A6 d; i" [) T! j* t! U& A& n) N4 r

; ^: q0 G) B/ O" o' {' b% C情况一:  
( h$ X7 Z* b6 p此时不论甲如何下注, 恒等于 c/(m+c)。   i4 O6 L: ]& T  l: Y
2 z: q% d+ O! Q) H- G4 a
情况二:  5 ^3 G7 S* ]) m, ^
此时不论甲如何下注, ,而右端为保守型下注法赢的机率。因此,在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面,极端下注法的赢面最低。 - D1 G( |, F! @) b+ z7 i
0 n  E" \. I+ g& f' A% {4 e: f9 f
情况三: 8 P2 h. A* n$ ^+ N- K( {
此时以极端法最佳,保守法最差。同样地,保守型下注法赢的机率为 。
) p, M) Q* T+ E3 N3 Y" S
- E+ b9 W( h; Z# A. j现在我们就来研究,为什么会有这个结论!这用到了一些数学工具,不过对其中较复杂的部分,因顾及本文的可读性,笔者只很扼要的叙述一下。
9 E! W+ D" N2 P, E' N
5 S* ~5 S( x% S) p- b! Q由于在上面的结论里,保守法处于一个居中的地位,所以我们先就此法进行讨论,然后再进一步研究整个问题。   I6 M% d# t" b5 f' ~6 U

6 _  K6 R3 S$ r+ [) p2 q如同以前, 代表当甲所拥有的资本达 i 元时,他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元,所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地,,,而  为我们最早所想求得之机率。
- w6 \2 n4 a% U2 v+ N# s+ ?. V5 {
) _0 N7 i# R1 h% N: H. O  \  T
情况一:  
, K* P8 M# K, e; ^# J* {假定某甲现有 i 元,那么有  的机会,他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此 . B4 A2 N! U$ z2 C* O8 K
6 ]! o7 V) E& M4 [4 y: k, e
" t4 g0 A2 X8 j5 H- i# D  b: ?7 W
( ~  E3 F" x1 O, F4 X" A" c1 \0 N

0 m* {# S, m  s4 x  H
# n& w2 L6 [! v, `2 z& L, z1 v4 q3 }# D/ L& n; e# H% {
这样的函数 ν,在数学上是一个线性函数,因此解的通式为 。由于,、,得 a=0、 。因此 ,亦即甲的赢面为 c/(m+c)。
/ A4 b2 K2 \: @: l& M2 n* Y9 f1 S! i) @
情况二:  ) p% @' b" X  e* X# I. A
令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式
5 B7 u) [7 T/ C, h% _& b* ]3 j
" i0 w( }  G8 F$ q7 M/ n+ v# B4 N$ x$ Z

! V1 I6 b; X$ \$ m8 ?3 l
+ f, J2 h/ R: @" B# d% W- A
9 L  j/ A' m& o+ r' A2 s/ C9 A& |. f) t* K! P
这样的一组方程式,在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法,但其道理较深。为此之故,我们特採用下面的方法。
0 e3 n: z; ~) W  O9 r# P8 d利用p+q=1,上组方程式可改写为
2 w( _5 N0 |, S+ P
' f* V( _! M: \1 F* U5 z- J! q6 Y# x+ W* L" h1 r4 P. Q1 [

! j; A9 n4 G3 X- x6 ?$ {7 G' Q5 m
8 o  Q. e' d5 ]
* m# o4 H$ a* `/ K, Z! d. p! |+ d5 w( E8 c  {9 W/ ^' P/ k
两边相加,并利用 、,得   Y6 r% T: P! O, n. C
. Y, D  {! R6 R. z
/ c" h3 E: p/ {- H: N- F. S# B6 k

. G% |/ M# ]7 i  q2 Y  H1 }6 }- u( e" U  {6 t  K' i/ }# T! `
" |$ u* v1 w& Y& }2 `, V: C- x

, O7 A1 ^" u% f6 V6 u0 ]& a& D若取前 c 项相加,则得 1 T: s, T! i8 \0 @7 d! v

0 [1 s& j8 m! {; U+ Y' c% f/ @
) w: S& T0 H5 T+ n$ R5 H- x* w9 d. ~# ^, L
' |- r( U  ]2 H" P% X

! K  Z. [: t4 h" x  n
- n! Z0 ]. }' e1 n情况三:  4 x, o, k( i& \# j: @
仿二之解法,可求得 7 I. m9 k9 K5 r2 ^. t; m
& |& L" v& D! G% C

& Y7 a: S1 H) x8 p8 l( K" |4 _* N. k  E* A" h# u9 j+ _

5 V7 P5 x- T( `9 A4 t" a, h, n5 \9 p1 Y" a$ w% u

7 d* Q3 |# s6 S, y0 w
. g3 M, C; j0 S8 ?, ]  P- ^保守法的  已求得,现在我们来研究为什么在情况二时,以保守下注法的  为最大;而在情况三时,反以保守下注法的  为最小;同时另一方面,在情况二时,则无论何种下注法, 皆一样。
( R# b2 l3 V( D* C, U% K& N8 L7 c/ u# p
首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时,甲所拥有之资本额,因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c,即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间,因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。
4 K9 r: H; j( a: A0 [+ M6 _' @4 [3 m. R- J. x/ T" j3 C

9 n& s. ^1 H% @- T, B) [定理:
8 ?0 Q' x; y3 L9 H! V  A7 e8 v设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下,f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn),则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」,则结论亦真。
! [/ c' k; h" y# M! a; s此定理在机率学上,即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem),它的证明已超过本刊程度,所以略去不证,但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说,其实是说若你的第 n+1 次赛局,平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值,则当整个赛局结束时,f 的平均值也与原先值一样。另一方面,若在「」的情况,亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值,则当赛局结束时,f 的平均值也曾比原先值为佳。 & W; @# _* [: m$ {: x
& Q% A& V7 H+ R7 r2 G3 B  a2 L' \
现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。
' r/ x$ S+ D5 _7 p: c% ?# {& u* \! T, O7 b) ]+ B/ a
首先,我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn,则不论对何种下注法,因胜负机会均等, ,所以若给定 Sn,则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ,所以知不论以何种方法, 。
6 W. J/ E3 Z6 d* r; L4 q) n3 b/ ^9 B7 n6 }4 C5 s4 D
至于在情况二或三时,我们取 。此时若给定 Sn,则
5 u( N& \0 k% k: N
% `! e$ n0 K% w0 l; @  P  t& R6 {9 y. m2 [: b( L
. l& ?7 Y" i, Z1 e6 O
/ V- A5 ^' m0 @# P2 w
8 N$ \& t& G* g# }9 h! P4 L

, L9 g' i  b+ I( k8 X+ t! ?) D7 @+ M, W- j9 P7 u. K( @
' [3 M" A* l5 e6 _; o( ?6 m9 c
其中  为所下注之金额。利用 . [" l  T# Y( O2 ]
1 a- J" e1 v: `0 H
2 w* m. Q; r; u2 X4 `; i3 H

+ A  R' }% q; {. b/ |$ a- R) k* I- V9 J; Y( Z

5 }. D7 N, ^0 r
4 B1 F# w8 F! {  O1 c7 g3 F* d. f) L% \' h; l

& i* ~, d0 \4 E- @可得不论以何种下注法下注,若给定 Sn,则 。所以由定理知 。但 - [( o4 l, M8 k4 F" r( h
: Z. f( E8 ?% [, F# F
( z8 |; q* W1 ^. Z) p) O6 J
. a! _# W9 x. n2 L, w
; f' s* z$ J. [" _5 C

- P: @) B% N1 D0 ~" f/ _5 `+ A! e+ j" U
1 i9 y0 J5 x" c+ }. u7 F( w3 _0 K. N# z: i8 K
9 W5 f: j4 `! {5 Z0 ?1 E/ j
因此可得在情况二, 时,
0 A. Y1 ]0 D- c2 H8 C4 T5 q1 m/ u+ N5 U' r. ]. G" ?
0 j- u: S; d0 ^
" _. {7 w4 k( }! L
) w& ?6 ], u$ m5 l5 X
+ l' \( Q% K8 x$ D% Z7 _( y. m# c
+ g; g, a, w; Q& S# C2 o! o
. }7 W' t  s7 }* j

3 ]+ K$ ?% n. D1 d而在情况三, 时, ) n7 {; V' W* C5 B( b. s9 y
5 w7 y- T3 e2 }+ R: V" w

# ^/ F! l/ w/ W/ y9 F
6 M) i. A% t) \) S/ z* x1 d& R6 t4 b

& ~! z" E  I, z5 D
0 A$ v' P. Q5 u% y1 i/ Q8 A2 y" v% l+ u! j3 L

& H) o- k; U% E1 r7 f但  为採用保守下注法时赢的机率,所以知在情况二时,以保守法的  为最大;但在情况三时,却以保守法的  为最小。
* O3 P  p8 q8 i$ G6 [. k, p9 Y: j- Y+ S+ o" C
至于为什么在情况二时,以极端法的赢面为最低;但在情况三时,却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论,只好从略了。 $ d5 d" f8 i- {9 [0 B

$ T' m! U7 O; N- B0 h% G/ R8 i) M附录
. ^1 p. _! j* s2 X2 m! w' N' e, j- H: n. B! m, S
8 S6 D3 J6 q! ]+ q& h; N' h! y5 b- l
在本文中,我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题,比如说,我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T(亦即期望值)。关于这个问题,我们有如下的答案:保守下注法的 T 为最大,其值当  时为 T=cm,当  时为
+ x/ e5 C+ y$ Q2 r# U$ [5 c( a/ b& v9 s3 g6 A3 t

2 l0 I0 Q% G- E2 V; {
( C! H0 l0 n1 g5 z) n; z9 q# R0 v- j4 V; e  e
+ t. D7 V; M0 [% {1 {" n% z

6 c" h5 q3 R" Z0 Y5 u/ k0 l* K
. _* K$ t; o5 @( D2 ]
$ h* z( U' E- b$ m" e另一方面,极端下注法的 T 为最小(但无统一公式)。至于其推导过程,与正文中所用的方法类似,只是演算步骤复杂多了,所以从略。
avatar
太长篇了,而且非常的深奥,希望有玩家能看的明白。
avatar
3#
好文章,学习了.
avatar
4#
又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.
avatar
5#
主题回复处广告图案-天策传媒
我也来学习下
avatar
6#
太深奥了!!!!!!!!!!
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