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引言
0 i5 A& J2 k; }( Y& h
& b7 c3 M* U' G  D; Y. @' c在日常生活中的许多场合,像生意的投资、决策的推行等,我们往往无法事先确知其结果,但对其成败的机会,则往往可事先估计出。这种成败的机会,也即是我们通常所说的事情成败的机率,然而使事情成功的方法不一,所以如何选用一个方法,使其成功的机率最大,是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便,作者特考虑下面的数学模型,实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的,不单是提出一个结果供读者参考,而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法,让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。 % B6 N6 c( [0 b5 I: M! I, R5 Y7 \

: Q4 f$ E( T' I$ I: \  t: N% m问题 ! _3 L+ r' h- \7 @6 I+ o9 K
' j4 f  n  o0 k0 J7 B

- Q; ]' k$ c0 T% k, q, `1 y有某甲持 c 元,拟与持 m 元的庄家赛局,并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中,某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽,整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注,才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢? 3 X8 R1 [$ A8 _& {  e
5 L; T, m+ D) t
当然,我们假设下注的金额是合理的,比如说若某甲现已有 8 元,而庄家只有 2 元时,那么某甲最多只能下注2元。 ' {9 ]  w1 {. Y5 s- B' c

& T& |7 \- W3 I本文 " ^2 A  g) F/ X8 A' T! A; J

' E  J) r& n8 x8 `4 G$ S
7 ?  g, Y6 O, I8 w! Z问题的叙述虽很简单,但细思之下,却发现其并不很简单。这道理不难明白,因为可下注的方法实在太多了,要一一比较是不可能的。 & ?# [9 }! a6 q- C  Z* M

* z/ X. A" {* H, b为了要克服上面所说的困难,数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法,这些方法所以较常採用,泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然,直觉的认定往往是不可靠的,所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法,并比较其优劣。 3 P: l: O* c' ^+ U6 ?' |+ C
$ c1 J) i8 L1 ?1 K* ?

+ @/ N+ O1 {$ m; E+ Z4 f: @- C8 t方法一、每次甲均下赌注 1 元。(显然,这样的下注法最保守,我们称之为保守型下注法。)   N/ R7 l5 J) o  @
方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了,则下次仍下 1 元;若输了,则将赌注加倍,依此类推。换言之,往后只要一赢,他就下 1 元,否则就把下注金额加倍。当然,我们假设所下金额是合理的。(显然持这种下法的理由是因为只要一赢,那么非但所有输的金额即全捞回来,并且反多赢 1 元,我们姑且称之为输不起型下注法。)
$ k4 b% R, G% o5 N' \方法三、只要许可,甲就将所有赌本下注,因此只要一轮,某甲就血本无归。(显然这种方法是最大胆的,我们就称之为极端型下注法。)
! m% h5 h2 m. M7 J* D7 J4 ~你会採用哪种方法呢?能说个道理出来吗?事实上,答案并不简单,它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关,也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计,我们以「+」表甲赢,以「-」表甲输,并以+、-所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。
8 `; S- ?1 A, }/ g+ b# j. B% [, R0 {- W' M/ @
首先我们考虑保守型下注法,此时只有在下列诸场合,甲才会赢(即庄家赌本输光)。 " i7 |, W- z+ O! l  B/ x

  q! S7 B! M* ~4 W, y. ]++, ) i. P; R2 q2 S" e0 H  ^
+-++,-+++,
7 H: e' l6 R; ^  _2 m+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
3 J5 I5 O  \# w& R- M5 _  h5 D3 C* r3 z                                                                                                。 8 x: t- o  s  K" n# ~" o
在第一列 ++ 中,甲连赢两次,此次机率为 。在第二列中,甲赢了三次,输了一次,并且有两种可能性,所以其机率为 (q 为输的机率,故 p+q=1)。依此推导可得在第 n 列中,甲赢了 n+1 次,而输了 n-1 次,并且有 2n-1 种可能性,所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中,甲赢的机率为 - O% A3 l0 g1 |5 H! [3 V
8 M3 k. Z$ G5 [: Y7 [
3 D' q9 d% ~7 Y3 p$ S
, h& \5 S7 T3 M! ~3 o

* H& _5 |; k' B/ B% Z; q" G; t0 x4 m8 Y) Q6 w4 r& a
8 d7 n- N* b  F
' j' p: v. S* B& p) ?
4 [- y& v! V% g* Z. ^/ w0 V8 E

' M- \5 ?, M7 {; l! T( e$ w; u% g: I) z1 Z
现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合,甲才会赢。 / w  l- L! F* S. U* H

8 J3 R* U% w3 o++,+-+,
9 b1 K8 z0 v8 H; t( O+ t; U  a-+++,-++-+,(注意:甲第二次仅能下注 1 元) ) W+ ]5 k6 j' z' q+ H# s
-+-+++,-+-++-+,
  r1 c+ }% o) C6 e+ Z; d                                 
% {6 U' x' p. M6 L( _* i! w7 i% ?, , 7 n0 J: d( q  T% d, `
                                                                                。   `6 a- A& R3 F* B2 E8 V* f
' l8 I' H1 u2 q* z* {7 D: {
仿上之计算,可得此时甲赢的机率为
1 Y' S/ j$ R; o" W3 U
9 r& b1 Z+ U# k: J: ^6 V3 U; ^4 Y3 _3 H. S

& C' h% ]; I' d+ J3 ]) B
/ J. Q& J! n4 \7 O! @: W# @1 s/ L" V) v0 s  T) {

- H+ _5 g& A1 \& s. ^2 a
9 O: H1 N9 t- f& S7 p& g7 Y
. L) b( k+ v8 K' k1 M# b9 O最后设某甲採极端法,则甲第一次即下注2元,因此一次就决定了输赢,所以甲赢的机率为 p 。
. d7 T9 A% g( E8 \( ]6 i5 s
- m* E; s& C" }- F5 E  q现在我们再回到原问题:究竟在这三种方法中,以那种方法最好?由于相对应赢的机率公式已求得,所以我们只需将 p 值代入,进而比较其大小即可,举例来说,当  时,三者之值皆为 ;而当  时,三者之值依序为 、、;至于当  时,则其值依序为 、、。这些数值告诉我们,当  时,三种下注法没影响甲赢的机会;当  时,则以保守法较好;当  时,却以极端法最佳,保守法最差。 " O9 h  C5 s$ x% g" g" p! f
7 h. F) z# U; U2 C: R) D( ~
这些结论,是不是有些出你意料呢?其实问题还没全部解决,迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好?还有,我们仅就特例来考虑,在一般的情形下,答案又是怎样呢?
: I2 H" H: I- C! H
6 V, N# U+ i( K现在,先把最一般性的结果写在下面,其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。 % t7 t5 O! R& i! ?  t, j

$ }7 L: f1 ~' \/ C( _8 T2 k" G7 N3 _+ T* w3 h& A) ]
情况一:  
! r3 w1 d4 ~& _8 i* h9 f* ]此时不论甲如何下注, 恒等于 c/(m+c)。
3 U5 O1 v2 U2 N( g" P4 Y+ [1 S% u( T/ p. @
情况二:  
( v4 ]* S& A' g  ]: f, D此时不论甲如何下注, ,而右端为保守型下注法赢的机率。因此,在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面,极端下注法的赢面最低。
. Q) ]- h& J4 n' I
" M( P( S. ]) U2 a. J情况三: " `- y& M8 h6 P9 o  G2 e8 }/ ~
此时以极端法最佳,保守法最差。同样地,保守型下注法赢的机率为 。 ( S" Q6 v9 C! L- g9 X

% v6 C1 p5 P# @- j& k" k现在我们就来研究,为什么会有这个结论!这用到了一些数学工具,不过对其中较复杂的部分,因顾及本文的可读性,笔者只很扼要的叙述一下。
3 t8 E7 Q, l3 w* d! v
: E; i" X" C7 n  O2 y由于在上面的结论里,保守法处于一个居中的地位,所以我们先就此法进行讨论,然后再进一步研究整个问题。 + o3 I' g. z& M) t+ l

- i! @, l. q. x如同以前, 代表当甲所拥有的资本达 i 元时,他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元,所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地,,,而  为我们最早所想求得之机率。 " u1 Y) [' b; |# X: U% I. P0 D+ }

4 R8 O% x9 k& k4 z) p& D- h6 r) ~$ c
情况一:  
5 e& q# N8 W* n" d; K3 \假定某甲现有 i 元,那么有  的机会,他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此
- b* G; Q2 r( L. [2 Y+ w" g5 r7 |5 E! c# ^8 n* H) o8 _' x
# i' I2 G. U. K6 \' L5 u0 u& r
4 ?  o% T, Q1 \2 ^

; a' E8 O4 Q& c+ [1 a. g8 |8 j, t% G6 j' }$ Y/ D0 y

- J9 `  {) K3 s3 H/ t  g! D0 J  t这样的函数 ν,在数学上是一个线性函数,因此解的通式为 。由于,、,得 a=0、 。因此 ,亦即甲的赢面为 c/(m+c)。
6 T! R& H& q4 M( Q' z. U" }2 J* S+ `) r' s5 c# }2 c
情况二:  % U2 V7 W7 K, u' J6 r. e
令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式 , a: W7 h1 _7 F6 ^2 {6 m& P
, W& E2 e6 Q1 v% ?! p

9 ]3 T- K; _' a/ J) P2 V- s3 p0 \3 x+ b
5 Z( R& q% e! X; |) W

, c1 S$ p( n- K" h/ I1 Q
, z( h- c) O* W$ c+ P5 c这样的一组方程式,在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法,但其道理较深。为此之故,我们特採用下面的方法。
$ O1 S1 c7 T5 B1 m+ `0 U" Y利用p+q=1,上组方程式可改写为
; X+ a$ C6 A+ k. n' F: t- d) z
& t& r9 p; P7 d: L3 r) t5 a* F
9 l7 @4 G; _1 b  ^5 ^* Y/ R- V; m# p& X8 `/ x8 G" Y- g
$ N& R9 d+ S  m; f( L

' ^3 O0 H0 f, I: P( f7 Z0 i
/ f$ E5 f$ V" l9 R6 g0 Q) d4 O两边相加,并利用 、,得
9 C" _1 Y' i4 `: `3 L; q- c; U; t& e
, l+ d6 t0 s% l5 u) U
! g3 l0 C: v- b* s
2 V4 f6 E  g2 R" y9 ^  [3 i9 a5 V7 ?, F9 k& V
0 @, U+ ?' m+ r5 O! s4 c/ t

% H  Q8 J  ~2 A$ ?$ o7 e8 q' ]若取前 c 项相加,则得
& `$ M& g3 ~8 L& ^- I
) H' M, O) N8 p/ i  |, X/ ~- L& c$ U' H* B1 T4 t. F3 k
8 C0 ]: [  I3 D2 n" g( h

8 G& a" X, O5 p8 e( E0 U2 r; Q$ c/ m" ]

" l# S  _* r) @! G7 c3 E: W5 i情况三:  
1 e! ?/ S7 O/ G* r& e7 ?仿二之解法,可求得 % N# E2 U( Q' ?/ P3 u, |

8 m6 D! `: P: C* [8 i( \6 c1 p
) N/ w" W+ ]- a0 N; r3 K" O
) {3 Z6 k/ B# z( G# r0 ]' Y8 y7 j, v6 [; o) x, X4 D! ~
4 q5 {  @! W! ^6 v, e( q; j; F
1 ]* P8 J7 q$ C- y0 i8 b# ]
3 K  p1 T. N( J4 ^, v& D6 F
保守法的  已求得,现在我们来研究为什么在情况二时,以保守下注法的  为最大;而在情况三时,反以保守下注法的  为最小;同时另一方面,在情况二时,则无论何种下注法, 皆一样。
* g* }* ^3 [1 k3 m% h7 @' ~$ o0 ^4 w$ ~! t1 s. I% ^
首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时,甲所拥有之资本额,因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c,即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间,因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。
7 S( g* c$ q" n& ]6 ]1 ~& N$ L
) \+ P2 B6 @7 \: c# N2 P& N& ?) j  W" ]% s/ i
定理:
5 W7 y% |: |- ^( r2 Z- `8 U设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下,f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn),则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」,则结论亦真。 8 ?4 ~& B/ I" F& k2 p3 B1 j
此定理在机率学上,即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem),它的证明已超过本刊程度,所以略去不证,但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说,其实是说若你的第 n+1 次赛局,平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值,则当整个赛局结束时,f 的平均值也与原先值一样。另一方面,若在「」的情况,亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值,则当赛局结束时,f 的平均值也曾比原先值为佳。 0 x8 f8 u. [% g
6 l, h; z6 T! c0 N; m" i
现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。 : {$ @( u5 v& u1 Q5 g, }

2 x5 j8 f; j5 C: m2 q首先,我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn,则不论对何种下注法,因胜负机会均等, ,所以若给定 Sn,则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ,所以知不论以何种方法, 。 7 g2 L7 [/ A( F/ f8 T

2 q0 C1 \! o7 P" j% ~- `至于在情况二或三时,我们取 。此时若给定 Sn,则
6 z5 t! P  l3 {+ r, w  `
4 x! ?5 y: U. m3 R6 A- \4 U5 i! o! V+ T6 c) @# b
* w6 t% v! ]0 u# u

1 w- T( @6 n/ h/ b6 p8 E3 Q) V
1 b) [) B3 R$ e& m4 d% K9 x% S5 h+ X8 R3 P5 I( C" F

; T& c8 Q9 a2 ^+ i" f+ ^. Y7 [- U6 q" L
其中  为所下注之金额。利用
/ O) _1 h" O9 \+ D6 O. ^/ ^
+ P5 Q) r0 A1 Y& _1 u/ `, f! i
. r* W7 T% R0 ?* I2 i0 [+ x) ^, |$ j0 A

6 K. e0 G9 e* {# L
/ v( k# W# |: @& h
# f# d. x$ I2 u- n! Q: p
! l& K& k6 m7 s2 M3 h; J4 f
) R* l9 G0 Z8 H# \可得不论以何种下注法下注,若给定 Sn,则 。所以由定理知 。但 4 w0 x3 F# |; k9 Y: W. n

3 v+ c( E. ^) R9 p2 Y( e; X4 t6 s# ?6 B, s0 U& _7 Q

! H! ?! i; F  n! W/ J5 ^0 L- w( x; @! c

4 R4 ]3 k( d  {
4 R% H* r2 ]3 s8 c  Q% m1 \% ]( A# M
  z1 M2 D! w8 A) b& J, W5 v4 K6 F9 v1 M+ i4 ]  E9 k" ^$ @
因此可得在情况二, 时,
2 M+ Z9 S& g. S8 d2 p% T1 H
" v0 c" o" v8 ]& g! Q* v! R4 \% \) Q; B
) M; m  T$ F9 q
4 X! X9 q# m9 T" c2 p( B% r

3 F3 T% a5 O3 r  l  G& V2 {7 N4 ?1 D2 S
9 w7 t  d: V% J& v+ `: b) }

7 e9 K3 [. w, F0 {% ?6 U+ X而在情况三, 时, 4 V- P. b& x# H. c; \+ T# M9 r

+ p0 Y* x* R1 W+ w7 [+ a, r9 t  a& S! U% q: C

( w; G' W5 s! F8 r
4 c+ d1 ?1 o8 X- d
9 P( i+ a1 l5 X, ~/ p6 n6 Y3 ~  u( }9 s5 ]$ Q/ _8 Y

0 y9 k& f4 ~8 g3 }8 Z. j: {
! u; R/ v0 M; F) J( s但  为採用保守下注法时赢的机率,所以知在情况二时,以保守法的  为最大;但在情况三时,却以保守法的  为最小。
' U  V2 Y4 \9 c' d' a
- b9 o" s; d+ V5 Y! ]2 c  l& l至于为什么在情况二时,以极端法的赢面为最低;但在情况三时,却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论,只好从略了。 9 |$ N: j- g' B! F9 Q! o" _% t; |7 q# @0 p; C

1 p6 ?8 m  d) Y: }2 P; ]1 f附录 ) y: X& c* \  b7 j( P6 J0 o9 K  @; p

% U! `  S5 K5 o, |' L$ g* [4 }+ _2 j& G  C
在本文中,我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题,比如说,我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T(亦即期望值)。关于这个问题,我们有如下的答案:保守下注法的 T 为最大,其值当  时为 T=cm,当  时为   r+ Q  @# i2 U: L* O( F, T
) L7 L2 U$ [% \
! a  |4 u0 d2 m9 k
# Q4 W' e" ~9 z

, g' H2 k3 Y, B6 ^% {
+ J" d" \2 g- G1 A7 E9 `  `0 j& @; N
, |  }2 J& n% w: H. G! p' T4 Y) M3 B
, ]* i6 I+ V; b( U* M9 K
另一方面,极端下注法的 T 为最小(但无统一公式)。至于其推导过程,与正文中所用的方法类似,只是演算步骤复杂多了,所以从略。
avatar
太长篇了,而且非常的深奥,希望有玩家能看的明白。
avatar
3#
好文章,学习了.
avatar
4#
又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.
avatar
5#
主题回复处广告图案-天策传媒
我也来学习下
avatar
6#
太深奥了!!!!!!!!!!
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