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标题:
随机赛程的最佳策略
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作者:
狗咬尾巴
时间:
2010-12-4 11:08
标题:
随机赛程的最佳策略
引言
6 r) q4 Z9 s! S* O' g
' Y6 L0 a" |- z
在日常生活中的许多场合,像生意的投资、决策的推行等,我们往往无法事先确知其结果,但对其成败的机会,则往往可事先估计出。这种成败的机会,也即是我们通常所说的事情成败的机率,然而使事情成功的方法不一,所以如何选用一个方法,使其成功的机率最大,是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便,作者特考虑下面的数学模型,实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的,不单是提出一个结果供读者参考,而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法,让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。
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) U5 A# j6 V1 Y1 u
问题
( s! `- D/ u+ h8 {# X" Y
( F# N6 b6 U% v2 t
$ m) }/ p0 H: D% \. r( Y5 ]1 ~+ |
有某甲持 c 元,拟与持 m 元的庄家赛局,并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中,某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽,整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注,才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢?
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2 \( _* O) W) v y# L4 P) ^4 D! u& P
当然,我们假设下注的金额是合理的,比如说若某甲现已有 8 元,而庄家只有 2 元时,那么某甲最多只能下注2元。
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本文
0 `9 }9 q r/ g+ a) m8 o R0 R
$ A: V2 @' m- g$ G; T
6 z. a, @$ @/ N
问题的叙述虽很简单,但细思之下,却发现其并不很简单。这道理不难明白,因为可下注的方法实在太多了,要一一比较是不可能的。
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6 p( x2 i. t) K. g: I' m
为了要克服上面所说的困难,数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法,这些方法所以较常採用,泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然,直觉的认定往往是不可靠的,所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法,并比较其优劣。
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3 M' [9 F5 x3 J9 ~
方法一、每次甲均下赌注 1 元。(显然,这样的下注法最保守,我们称之为保守型下注法。)
+ u& C, @# ~) @1 j/ Z% B. M7 D
方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了,则下次仍下 1 元;若输了,则将赌注加倍,依此类推。换言之,往后只要一赢,他就下 1 元,否则就把下注金额加倍。当然,我们假设所下金额是合理的。(显然持这种下法的理由是因为只要一赢,那么非但所有输的金额即全捞回来,并且反多赢 1 元,我们姑且称之为输不起型下注法。)
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方法三、只要许可,甲就将所有赌本下注,因此只要一轮,某甲就血本无归。(显然这种方法是最大胆的,我们就称之为极端型下注法。)
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你会採用哪种方法呢?能说个道理出来吗?事实上,答案并不简单,它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关,也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计,我们以「+」表甲赢,以「-」表甲输,并以+、-所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。
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首先我们考虑保守型下注法,此时只有在下列诸场合,甲才会赢(即庄家赌本输光)。
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0 T$ s9 Z3 S# r6 w
++,
4 m( z. g& Y; k! C
+-++,-+++,
# @( b `! C' C+ y$ i: P6 R
+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
; l# z$ [) }6 m( }; |7 X$ Q; m' s
。
8 G( ~' R+ s1 e7 y
在第一列 ++ 中,甲连赢两次,此次机率为 。在第二列中,甲赢了三次,输了一次,并且有两种可能性,所以其机率为 (q 为输的机率,故 p+q=1)。依此推导可得在第 n 列中,甲赢了 n+1 次,而输了 n-1 次,并且有 2n-1 种可能性,所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中,甲赢的机率为
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: q1 }% F5 p) T9 v- ^8 L* {" ?' F. r
7 }# @' t# B' c; N' D1 M! u
* c( c2 i% u0 C# W" M6 q
2 [+ J0 C3 f' P3 l, O4 M, [
( p& L3 S' a3 X# v) f3 @- Q8 E
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+ K* B+ d2 }" F+ C
3 S/ y% G) i, f8 O0 u5 j
, g6 |( A/ Y! r& v% W
现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合,甲才会赢。
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% S; e6 q3 k" P0 f: e9 `2 g
++,+-+,
8 I5 b; D+ X# \& ]* w
-+++,-++-+,(注意:甲第二次仅能下注 1 元)
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-+-+++,-+-++-+,
) k0 U- e1 I5 w2 K, F9 n- l& l
( Z- F' ]5 g# N: w. H6 a
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/ C5 j9 |; w: N: [$ {
。
: v! M* F* b$ u+ `3 C0 ]
2 s* }+ p8 P2 t. O- \) K
仿上之计算,可得此时甲赢的机率为
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; ~/ ^ s2 O$ w, O& e
! @4 n+ r% |- w4 `" x9 y; u
. |- v) b; v. M/ ?$ S6 S) _/ Y
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/ u. _' t: r1 j9 ~* b. A$ W7 c
/ O' \3 C- F& ^6 e, p+ ], j! ?
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4 K5 [2 P1 D) \6 o& d2 M B
最后设某甲採极端法,则甲第一次即下注2元,因此一次就决定了输赢,所以甲赢的机率为 p 。
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现在我们再回到原问题:究竟在这三种方法中,以那种方法最好?由于相对应赢的机率公式已求得,所以我们只需将 p 值代入,进而比较其大小即可,举例来说,当 时,三者之值皆为 ;而当 时,三者之值依序为 、、;至于当 时,则其值依序为 、、。这些数值告诉我们,当 时,三种下注法没影响甲赢的机会;当 时,则以保守法较好;当 时,却以极端法最佳,保守法最差。
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( T9 `- i/ r' D1 Q3 N* k' |# D
这些结论,是不是有些出你意料呢?其实问题还没全部解决,迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好?还有,我们仅就特例来考虑,在一般的情形下,答案又是怎样呢?
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: p5 s! @9 _% y( @% n$ F
现在,先把最一般性的结果写在下面,其中 代表当甲有 i 元时会赢的机率。
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; F4 `. P$ F+ E- P% e2 W
* @. g, `: y% @7 \$ E
情况一:
, a* u. V9 m9 X o8 S8 H$ W
此时不论甲如何下注, 恒等于 c/(m+c)。
: ]' g* ~! {' C, y8 E
! d6 D- H" F6 f1 Y0 K/ J# X; x
情况二:
- G$ T0 L% A8 i3 s1 j1 n" Q
此时不论甲如何下注, ,而右端为保守型下注法赢的机率。因此,在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面,极端下注法的赢面最低。
5 ?* R0 M& t p; f
3 @" y R7 L) s6 ?0 z& I) `. u
情况三:
( ^% y4 q+ ^9 k* C2 A5 n
此时以极端法最佳,保守法最差。同样地,保守型下注法赢的机率为 。
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+ F Z- e! y* [" X6 K& D
现在我们就来研究,为什么会有这个结论!这用到了一些数学工具,不过对其中较复杂的部分,因顾及本文的可读性,笔者只很扼要的叙述一下。
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; S: g! `+ T h; K
由于在上面的结论里,保守法处于一个居中的地位,所以我们先就此法进行讨论,然后再进一步研究整个问题。
4 d N3 ^& @7 S$ o' q
( I$ T/ y! C. ?! w) T
如同以前, 代表当甲所拥有的资本达 i 元时,他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元,所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地,,,而 为我们最早所想求得之机率。
- m% N) l( }6 K7 J2 E, x
5 h: N2 E$ t8 |! z2 J& n, f
; ?( q6 H' F5 B& a
情况一:
: B/ Z- h+ \3 O/ p# D. K: i
假定某甲现有 i 元,那么有 的机会,他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此
. k+ t J! \& b6 z/ V! h
" N; A8 U, o% E1 o! ?
8 j/ [, m; q1 V# U4 l
; r" ?0 }) }7 {- n) L% l2 r
: L; r# V$ ]& |# c- `3 C
/ w* v( U( H" [$ O6 `
' j+ b Q# s. x( U+ O
这样的函数 ν,在数学上是一个线性函数,因此解的通式为 。由于,、,得 a=0、 。因此 ,亦即甲的赢面为 c/(m+c)。
& t6 g& m- u G/ M2 V
" W/ n, k: R. O y# ^- r) `, _
情况二:
" B3 Z" k+ g! O
令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式
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9 b) S8 {: l7 i G o4 b4 @
+ A$ A! _5 V8 D' S7 N" {
; e$ V8 v+ T9 M7 N% H' I: _
* O4 l. m+ C/ U/ |
7 h3 @4 H% a7 z& R# k2 }
0 j' p9 [0 v7 p& g0 N
这样的一组方程式,在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法,但其道理较深。为此之故,我们特採用下面的方法。
& i" S8 c% ]* p
利用p+q=1,上组方程式可改写为
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; I* K' X1 e) r' n" p) L$ t$ Z
1 Q$ ^' x1 T6 o4 ?
# m, B& L" `/ Z4 g V! h2 }
1 ^+ F# s# A9 T9 C( O# i/ z) s
& j, `* x0 t. `7 \4 p
- [. @# Q: L% q9 P; p
两边相加,并利用 、,得
6 v% `, g9 g, @
* f( Y1 c1 ] s }+ f
8 u& e6 R: P, i9 f
) H/ o3 i% \- w- C4 s
% H$ W8 n* \9 B: y, H
8 ?. t' l, T$ \3 v! j
; V; @4 M. q4 W) B
若取前 c 项相加,则得
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4 O, l; G/ y3 U7 {2 D1 V2 Z' E
5 s) ]1 C: n1 L
4 _7 u8 m( t* x
1 T2 }+ J K% J- A
0 W" ~$ t" x) [# x9 @; G m
, c( }1 S+ c( z. A
情况三:
$ n% i8 P2 P' g1 ~
仿二之解法,可求得
O5 W# O. |' j
, A0 }4 ~- h' V' Q" B$ z
- b0 W$ Q+ X) u! ~
7 T! Z/ k1 h1 B; W C! d* \
/ r$ o" f; v( N$ v" K' J
, a0 x$ T; G& z' g
; F5 v; W; F/ @' o4 d
4 J1 D, d' L* a& |2 q+ \
保守法的 已求得,现在我们来研究为什么在情况二时,以保守下注法的 为最大;而在情况三时,反以保守下注法的 为最小;同时另一方面,在情况二时,则无论何种下注法, 皆一样。
: L1 H2 G7 G; I6 m/ x
$ o' h8 w" r# r3 F& T
首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时,甲所拥有之资本额,因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c,即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间,因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。
, h ^' k1 D- A- Z$ y2 K2 b# e
, T2 m. F1 `# _* i( g3 e
1 Y% s L: A* i, ~! j0 M+ ~' L1 `# W
定理:
6 q/ X/ D1 f% I; m# G
设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下,f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn),则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」,则结论亦真。
* Y9 K4 r9 y2 p7 N# I( q+ b" B4 _
此定理在机率学上,即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem),它的证明已超过本刊程度,所以略去不证,但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说,其实是说若你的第 n+1 次赛局,平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值,则当整个赛局结束时,f 的平均值也与原先值一样。另一方面,若在「」的情况,亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值,则当赛局结束时,f 的平均值也曾比原先值为佳。
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现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。
6 @ F3 E. D1 \% I% M7 E
! m+ w" o3 x$ ^
首先,我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn,则不论对何种下注法,因胜负机会均等, ,所以若给定 Sn,则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但 = ,所以知不论以何种方法, 。
3 N* c. Y0 g" y. e2 n) d* F$ A
0 s) b2 I- j6 A( n# R
至于在情况二或三时,我们取 。此时若给定 Sn,则
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3 c, D2 {# {/ X
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* l9 x0 Q# m! J
$ c7 Z2 s! u: g- _% n2 ^7 y
其中 为所下注之金额。利用
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3 I! ~+ B! V8 z; s" {
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可得不论以何种下注法下注,若给定 Sn,则 。所以由定理知 。但
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# h. g7 u! G& L2 g) o
! s3 U9 c0 [0 e3 v& b9 H) @
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) y. q6 Q u% m' x+ {
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因此可得在情况二, 时,
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3 z. q" s+ f( X. B) u
而在情况三, 时,
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% B$ }, ^- z6 Q: J3 ~) B
但 为採用保守下注法时赢的机率,所以知在情况二时,以保守法的 为最大;但在情况三时,却以保守法的 为最小。
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' d7 C$ e0 p" }, m @0 N1 Q+ W
至于为什么在情况二时,以极端法的赢面为最低;但在情况三时,却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论,只好从略了。
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附录
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在本文中,我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题,比如说,我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T(亦即期望值)。关于这个问题,我们有如下的答案:保守下注法的 T 为最大,其值当 时为 T=cm,当 时为
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另一方面,极端下注法的 T 为最小(但无统一公式)。至于其推导过程,与正文中所用的方法类似,只是演算步骤复杂多了,所以从略。
作者:
爱拼猎人
时间:
2010-12-4 15:13
太长篇了,而且非常的深奥,希望有玩家能看的明白。
作者:
tb35891
时间:
2010-12-4 16:55
好文章,学习了.
作者:
tb35891
时间:
2010-12-5 20:28
又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.
作者:
牛二哥
时间:
2010-12-5 23:11
我也来学习下
作者:
ck6767
时间:
2010-12-6 09:46
太深奥了!!!!!!!!!!
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