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[真人] 骰宝游戏的数学解释
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1#
一、问题陈述
5 _2 \: K+ `. C% W8 U$ Q" E/ e) _& y
玩家先选择所押兵马俑币的数目,然后选择买大还是买小,确定后这个3个骰子由系统程序随机的产生3个1~6的随机数字,如果这三个数字相同,则无论买大还是买小玩家都回扣除所押数目的兵马俑币;如果不同,则将这三个数字相加,4~10点为小,11~17为大,若玩家压对大小则获得所押数目的兵马俑币。
. ]1 x: Q6 U) G+ ~/ \# W# Q7 B' `% j# t7 E
现在由此提出3个问题: 2 {3 N/ r( W3 l, a6 U9 z+ W
" i7 F! \- S" o* I
1、买大赢的多还是买小赢得多?
6 ?# [+ d3 ?) x$ J: X2、这种赌法有可能挣钱么?
4 |' }! w" ]+ z6 u# r3、如何玩才能更挣钱,是否存在一种玩法只赚不赔? # h" t" ?- w2 f
二、化简和假设
7 c9 C7 e( m, ~/ `, N7 r4 R9 N( s: [5 C, L) _5 ^
假设玩家拥有兵马俑币数目为M(M为自然数)
' h) H0 ], i! t4 ^6 N, F, D) w" ~/ O: U# e
没次押的兵马俑币个数为N(N>=1000,N为自然数)
7 \/ D$ N8 W+ A8 m4 \" y1 v7 n$ z2 ]& Q1 P9 \5 k
当买小时,设f=-1;当买大时,设f=1
4 z9 ]9 g) z. t) I
& S  W' k* |; I设这三个骰子的点数为a、b、c(a,b,c为1~6的自然数)
4 f% O5 S- j% w; L
; t# X$ }; j% k9 X6 g, m  i" k5 }# M当a=b=c时,即庄家要是摇出全骰(三个骰子点数一样)则通吃大小家,设g=0;
( O/ P- Y. c5 `# |
/ c5 [' R5 }% `3 p: \6 ]/ J) G当a+b+c=4~10时,即开小,g= -1; ; d, r5 Z+ h" O5 T% d1 W
  l4 T# c9 R9 J1 M* O# ?
当a+b+c=11~17时,即开大,g=1. 0 s! |. r- P6 y* {3 E

8 I1 W" G9 [1 q% v8 j/ ~$ Ah=1&&f*g=1 || h= -1&&f*g=0|-1 - T# [8 M0 m) u! i# |- O) d
) \1 p( O& i/ D# J
则1局后,玩家的兵马俑币数目为:M+h*N
- D/ J! u$ X& M/ s4 K8 `. P: J) v' r9 Q  y  o, [
第n局后,玩家的兵马俑币数目为:M+h1*N1+h2*N2+….+hn*Nn. " Y7 F2 o# |, o; ?( u. q" f

" l, I8 H2 u* d三、模型及其求解
, v, F' S# u7 S+ Z- R) ~5 ^5 X( Q" R8 H8 i6 I
1、首先对单独的一局骰子点数情况进行分析
6 N) v, _$ J  v, ?
2 [7 X5 I: r- R: U5 P" j" |由于系统源代码未知,可假设每个骰子出现1~6点数是随机的,则对三个骰子 而言,组合方式有 XXX、XXY、XYZ两种,XXX仅包括一种,而XXY又包括XYX、YXX共3种,而XYZ有6种组合,由下表可列出开小、通吃、开大的种数: 2 }, y1 B: J6 s7 g6 s4 Q  r- X

! K2 Z; T  ]- n9 L  f  g) w点数 组合方式 开小 通吃 开大 , ^- A  C( _3 h) h5 l+ j, q9 t

1 n; _2 @" R/ l3 111 0 1 0
! e  I; A' {' X: q
" a2 v: I& z9 E2 H* D4 112 3 0 0
8 P6 P4 Q3 M: W" @6 D/ u3 f0 R* I3 x& ]6 u( `
5 113,122 6 0 0 2 \& W1 [! w  ^( A
  N, \! r( D4 A' Q7 Q  X$ [- H
6 114,123,222 9 1 0 / M9 d0 V- u5 ~6 L7 J! p& o
& W3 l" ]) m" n4 @9 X
7 115,124,133,223 15 0 0 ( G' z+ P5 e5 L+ Y- X, V

6 T$ ^6 y- |) X: \& G8 116,125,134,224,233 21 0 0
( O/ ]% k& T# T( _$ O% `8 K
- y: P$ e" j! X% E# {9 126,135,144,225,234,333 24 1 0 ( T( o' }  ?: K0 F& O: w
! a2 j# E4 s$ ^" J5 ?) Y/ O3 Y
10 136,145,226,235,244,334 27 0 0 + j5 C" g) Y! ]2 D8 E9 m, C3 A

0 N# ?# C8 v+ i5 J11 146,155,236,245,335,344 0 0 27 ! E5 ^4 @4 ^6 y" n0 a
7 w0 A4 u1 h, R; ?# g( ]/ O
12 156,246,255,336,345,444 0 1 24
; b* A) |( X6 r/ u3 v2 o6 y* b' x
" {8 B% p" \+ B; N- A13 166,256,346,355,445 0 0 21
: g. T5 r! Q) \7 ?( g  h
" {1 b) F# Y* W7 e; a) n14 266,356,446,455 0 0 15
: S" L' K9 r0 K2 q2 }5 W; d6 u7 G/ [" q: I2 I
15 366,456,555 0 1 9
) j$ T) ~. R6 U* F+ V
% P" q. d% L1 M- o* ]% e3 b9 n6 R7 M16 466,556 0 0 6 0 a( Q( |$ @$ y! B+ c6 y
( d8 i/ g/ d5 t2 O
17 566 0 0 3 / O, W& j5 S! D3 H$ {

7 b: Z# A( q7 e: B) W18 666 0 1 0
1 [) x" S# L5 c# C% Z# n& C) F# P# w1 e/ j( i' }1 A
合计: 105 6 105
' @% \) v& S$ r4 _: j* a+ K. N! d* J
三个骰子总共的组合方式为6*6*6=216种 ; e/ U4 _% E; N$ u8 g- |& }& G
9 z. q% \. j, T8 S8 g* r7 u* G8 d
通吃的概率为:6/216=1/36=2.78% 2 ~# h$ ~2 H1 y  K
' [# v" ^2 S* @) L: ]0 \( X8 g8 C
开大的概率为:105/216=35/72=48.61% 8 j& l) W8 q) c) f" W7 E1 w. d
& Z. \3 S& l) _7 U3 M
开小的概率为:105/216=35/72=48.61% 4 P7 @6 w  o% @9 I
0 a- y# Y8 E+ _+ r, e
由此可见对于单独某一局来说,开大开小概率相同。
6 b. [4 @1 _: p3 ~1 N6 {. Q: t5 ^; x( b) q4 G" e
则:
4 i. H- O2 _4 O2 P
9 F0 v  @$ w# r9 h( c9 A3 z  c2、初级玩家下注方式:
: m/ {  ~" M: D4 y" G# Y. w! M! t- P: P- K% C
刚开始一般都回这样玩:每一局下注数目一定。对于这种情况所押兵马俑币个数N一定,则经过n局后,玩家的兵马俑币数目为:M+(h1+h2+….+hn)*N 6 _2 ]1 s" \+ V
1 T; l! V: y1 B# u' C) u5 a( s
若一直买大,假设n很大,则:
. n: R. X2 o/ f7 T; ~' P4 A7 q1 D' K9 u/ [
h1+h2+….+hn=1*48.61%+(-1)*(48.61%+2.78%)= -0.0278
( \& \0 C$ V" f. D" H/ i$ T. t  M% K8 e# O# J+ G. @; c3 S
若一直买小,同理; 0 A. g# s+ l6 Q+ u: ^& W" ]7 B
0 x& u/ o6 q2 x' `
若任意的买大买小,亦同理。
0 |9 z7 K7 j9 w+ ]3 b8 Y, s" }: `/ P) h1 N2 f
因此,经过n局后,玩家的兵马俑币数目为:M*97.22% 0 j: F; z" F9 M* ^  C# I. i

  S9 h& X) }9 K* c# N- K& b, r可见照这样下去,每一局下注数目一定或相差不大时,当玩了很多局时,玩家的兵马俑币数目只会减少,只剩下本金的97.22% ,而另外2.78%被庄家洗走了。 :(
6 {& X1 l0 G% i4 B# m1 `% D4 t) @2 f! r% r5 U! N* e- [' L; ]* u
3、有经验者的玩法:
6 F, |& m+ X! B8 o# i+ |+ R1 K. G2 S0 o8 k0 A, M$ Q4 |
1) 下注的兵马俑币数目为x=N;
$ l+ d( l0 z+ R/ X' @2) 所买大小与上一盘开出的相反; & [/ e, [  b* U, K# H
3) 如果赢了,继续步骤1),如果输了往下继续;
1 o  ~6 K1 c: Q- g- A; G- w/ d. W4) 下注的兵马俑币数目翻倍x=2*x,继续步骤2); ( v0 z: n% v" k- G
对于这种玩法,好像只赚不亏,可是如果一旦运气不佳连开了n个大,虽然这是个小概率事情,就会豪赌一 空,血本无归$ p* a2 M: F+ D, X# z; }% m
1 \3 S; b8 q5 E- s# _. t4 z. e
此时忽略掉庄家洗走的2.78%,可把开大开小的概率都看作50% 1 z0 G9 L+ z. x, Q- X! j
8 M$ j8 G5 F$ C+ ~6 _  l  C  T; F
连开n个大/小的概率为1/2^n,假设此时的兵马俑币购用,则押上的兵马俑币数目为N*2^n,而输掉的数目为 N*(1+2^1+……+2^(n-1))=N*(2^n-1),当n较大时可忽略掉那个1,则所剩的兵马俑币数目为 M-N*2^(n+1),即是在第n局就将投入N*2^(n+1)的资金,若所剩资金不足N*2^(n+2),一旦输了必然血本难归。
8 u, L# t- \3 K# L* _! P: H8 G+ r- g* R( f" x8 a
如果取n不大于10,N=1000,则连开10个大/小的概率为1/1024小于0.1%,而所需资金约为200万才能保证不会豪赌一空。虽然这样玩貌似很稳当,事实上这样每一局一般挣的钱很少很少。
+ l) j1 O- h; u
, H. T% u" B8 [) V2 y  K' I这样下注到底可以赢钱么?答案是否定的,因为每次开大开小是完全独立的过程,设为P,无论押注者买大买小,押注这个事件设为Q,每次押注开骰整个过程P*Q,还是完全独立的过程,因此当玩得次数很多时,玩家的兵马俑币数目不会增加,还会被庄家洗走2.78%,只赚不赔的玩法也是不存在的。 * Q) V6 g; _" N5 b
$ I8 G/ {' A+ d3 D  w0 O
四、对模型的评价 4 A; ^9 J& ]9 o6 B1 A4 P- ~: n
  v: p) E5 X( m" M2 `  A) Z) n3 ^2 H
通过数学方法的分析,我们发现,玩这个游戏,赢家始终是庄家,十赌九输正是这个道理,对于Dubo、彩票等也是同样的道理,因此不应该过于迷恋,踏踏实实努力做好本职工作才是成功之道。
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